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\section{Sonstiges}
\subsection{2-SAT}
\begin{enumerate}
\item Bedingungen in 2-CNF formulieren.
\item Implikationsgraph bauen, $\left(a \vee b\right)$ wird zu $\neg a \Rightarrow b$ und $\neg b \Rightarrow a$.
\item Finde die starken Zusammenhangskomponenten.
\item Genau dann lösbar, wenn keine Variable mit ihrer Negation in einer SCC liegt.
\end{enumerate}
\subsection{Sortieren in Linearzeit}
Wenn die Eingabe aus einem kleinen Intervall $\left[0, n\right)$ stammt ist Bucketsort schneller.
\subsubsection{Bucketsort}
\lstinputlisting{sonstiges/bucketSort.cpp}
\subsubsection{LSD-Radixsort}
\lstinputlisting{sonstiges/radixSort.cpp}
\subsection{Bit Operations}
\lstinputlisting{sonstiges/bitOps.cpp}
\subsection{Roman-Literal-Converting}
\lstinputlisting{sonstiges/Roman.cpp}
\subsection{Josephus-Problem}
$n$ Personen im Kreis, jeder $k$-te wird erschossen.
\begin{description}
\item[Spezialfall $k=2$:] Betrachte Binärdarstellung von $n$. Für $n = 1b_1b_2b_3..b_n$ ist $b_1b_2b_3..b_n1$ die Position des letzten Überlebenden. (Rotiere $n$ um eine Stelle nach links)
\lstinputlisting{sonstiges/josephus2.cpp}
\item[Allgemein:] Sei $F(n,k)$ die Position des letzten Überlebenden. Nummeriere die Personen mit $0, 1, \ldots, n-1$. Nach Erschießen der $k$-ten Person, hat der Kreis noch Größe $n-1$ und die Position des Überlebenden ist jetzt $F(n-1,k)$. Also: $F(n,k) = (F(n-1,k)+k)\%n$. Basisfall: $F(1,k) = 0$.
\lstinputlisting{sonstiges/josephusK.cpp}
\end{description}
\textbf{Beachte bei der Ausgabe, dass die Personen im ersten Fall von $1, \ldots, n$ nummeriert sind, im zweiten Fall von $0, \ldots, n-1$!}
\subsection{Gemischtes}
\begin{itemize}[itemsep=5mm]
\item \emph{\textsc{Johnsons} Reweighting Algorithmus:} Füge neue Quelle \lstinline{S} hinzu, mit Kanten mit Gewicht 0 zu allen Knoten. Nutze \textsc{Bellmann-Ford} zum Betsimmen der Entfernungen \lstinline{d[i]} von \lstinline{S} zu allen anderen Knoten. Stoppe, wenn es negative Zyklen gibt. Sonst ändere die gewichte von allen Kanten \lstinline{(u,v)} im ursprünglichen Graphen zu \lstinline{d[u]+w[u,v]-d[v]}. Dann sind alle Kantengewichte nichtnegativ, \textsc{Dijkstra} kann angewendet werden.
\item Für ein System von Differenzbeschränkungen: Ändere alle Bedingungen in die Form $a-b \leq c$. Für jede Bedingung füge eine Kante \lstinline{(b,a)} mit Gweicht \lstinline{c} ein. Füge Quelle \lstinline{s} hinzu, mit Kanten zu allen Knoten mit Gewicht 0. Nutze \textsc{Bellmann-Ford}, um die kürzesten Pfade von \lstinline{s} aus zu finden. \lstinline{d[v]} ist mögliche Lösung für \lstinline{v}.
\item Min-Weight-Vertex-Cover im bipartiten Graph: Partitioniere in \lstinline{A, B} und füge Kanten \lstinline{s -> A} mit Gewicht \lstinline{w(A)} und Kanten \lstinline{B -> t} mit Gewicht \lstinline{w(B)} hinzu. Füge Kanten mit Kapazität $\infty$ von \lstinline{A} nach \lstinline{B} hinzu, wo im originalen Graphen Kanten waren. Max-Flow ist die Lösung.\newline
Im Residualgraphen:
\begin{itemize}
\item Das Vertex-Cover sind die Knoten inzident zu den Brücken. \emph{oder}
\item Die Knoten in \lstinline{A}, die \emph{nicht} von \lstinline{s} erreichber sind und die Knoten in \lstinline{B}, die von \lstinline{erreichber} sind.
\end{itemize}
\item Allgemeiner Graph: Das Komplement eines Vertex-Cover ist ein Independent Set. $\Rightarrow$ Max Weight Independent Set ist Komplement von Min Weight Vertex Cover.
\item Bipartiter Graph: Min Cover (kleinste Menge Knoten, die alle Kanten berühren) = Max Matching.
\item Bipartites Matching mit Gewichten auf linken Knoten. Minimiere Matchinggewicht. Lösung: Sortiere Knoten links aufsteigend nach Gewicht, danach nutze normlen Algorithmus (\textsc{Kuhn}, Seite \pageref{kuhn})
\end{itemize}
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