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diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index 1f1d542..ec5aaa8 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -53,17 +53,17 @@ Obiger Code findet kein maximales Teilfeld, das über das Ende hinausgeht. Dazu: \subsection{Kombinatorik} \subsubsection{Berühmte Zahlen} -\begin{small} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline \textsc{Fibonacci}-Zahlen & $f(0) = 0 \quad f(1) = 1 \quad f(n+2) = f(n+1) + f(n)$ & Bem. \ref{bem:fibonacciMat}, \ref{bem:fibonacciGreedy}\\ \textsc{Catalan}-Zahlen & $C_0 = 1 \quad C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} = \frac{1}{n + 1}{2n \choose n} = \frac{2(2n - 1)}{n+1} \cdot C_{n-1}$ & Bem. \ref{bem:catalanOverflow}, \ref{bem:catalanAnwendung}\\ - \textsc{Euler}-Zahlen (I) & $\left\langle\begin{array}{c} n \\ 0\end{array}\right\rangle = \left\langle\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right\rangle = 1 \quad \left\langle\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right\rangle = (k + 1)\left\langle\begin{array}{c} n-1 \\ k\end{array}\right\rangle + (n-k)\left\langle\begin{array}{c} n-1 \\ k-1\end{array}\right\rangle$ & Bem. \ref{bem:euler1Intuition}\\ - \textsc{Euler}-Zahlen (II) & $\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right\rangle\right\rangle = 1 \quad \left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right\rangle\right\rangle = 0 \quad \left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\rangle\right\rangle = (k + 1)\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right\rangle\right\rangle + (2n - k - 1)\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right\rangle\right\rangle$ & Bem. \ref{bem:euler2Intuition}\\ + \textsc{Euler}-Zahlen (I) & $\left\langle\begin{array}{c} n \\ 0\end{array}\right\rangle = \left\langle\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right\rangle = 1 \quad \left\langle\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right\rangle = (k + 1)\left\langle\begin{array}{c} n-1 \\ k\end{array}\right\rangle + (n-k)\left\langle\begin{array}{c} n-1 \\ k-1\end{array}\right\rangle$ & Bem. \ref{bem:euler1}\\ + \textsc{Euler}-Zahlen (II) & $\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right\rangle\right\rangle = 1 \quad \left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right\rangle\right\rangle = 0 \quad \left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\rangle\right\rangle = (k + 1)\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right\rangle\right\rangle + (2n - k - 1)\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right\rangle\right\rangle$ & Bem. \ref{bem:euler2}\\ \textsc{Stirling}-Zahlen (I) & $\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right] = 1 \quad \left[\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\n\end{array}\right] = 0 \quad \left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right] + (n-1)\left[\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right]$ & Bem. \ref{bem:stirling1}\\ + \textsc{Stirling}-Zahlen (II) & $\left\{\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right\} = 1 \quad \left\{\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\} = k\left\{\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right\}$ & Bem. \ref{bem:stirling2}\\ + Integer-Partitions & $f(1,1) = 1 \quad f(n,k) = 0 \text{ für } k > n \quad f(n,k) = f(n-k,k) + f(n,k-1)$ & Bem. \ref{bem:integerPartitions}\\ \hline \end{tabular} -\end{small} \begin{bem}\label{bem:fibonacciMat} $\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)^n \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}f_n \\ f_{n+1}\end{array}\right)$ @@ -93,23 +93,39 @@ Die \textsc{Catalan}-Zahlen geben an: $C_n =$ \end{itemize} \end{bem} -\begin{bem}[\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung]\label{bem:euler1Intuition} +\begin{bem}[\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung]\label{bem:euler1} Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Anstiegen. -Die Formel folgt aus folgender Überlegung: Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen. Dabei wird entweder ein Ansteig in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergänzt. +Begründung: Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen. Dabei wird entweder ein Ansteig in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergänzt. \end{bem} -\begin{bem}[\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung]\label{bem:euler2Intuition} +\begin{bem}[\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung]\label{bem:euler2} Die Anzahl der Permutationen von $\{1,1, \ldots, n,n\}$ mit genau $k$ Anstiegen. \end{bem} +\begin{bem}[\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Ordnung]\label{bem:stirling1} +Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Zyklen. + +Begründung: Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eigene Zyklus, oder sie kann an jeder Position in jedem Zyklus einsortiert werden. +\end{bem} + +\begin{bem}[\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung]\label{bem:stirling2} +Die Anzahl der Möglichkeiten $n$ Elemente in $k$ nichtleere Teilmengen zu zerlegen. + +Begründung: Es gibt $k$ Möglichkeiten die $n$ in eine $n-1$-Partition einzuordnen. Dazu kommt der Fall, dass die $n$ in ihrer eigenen Teilmenge (alleine) steht. +\end{bem} + +\begin{bem}\label{bem:integerPartitions} +Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximalem Elment $\leq k$. +\end{bem} + \subsubsection{Verschiedenes} \begin{tabular}{|l|l|} \hline Hanoi Towers (min steps) & $T_n = 2^n - 1$\\ - regions by $n$ lines & $n\left(n + 1\right) / 2 + 1$\\ - bounded regions by $n$ lines & $\left(n^2 - 3n + 2\right) / 2$\\ - labeled rooted trees & $n^{n-1}$\\ - labeled unrooted trees & $n^{n-2}$\\ + \#regions by $n$ lines & $n\left(n + 1\right) / 2 + 1$\\ + \#bounded regions by $n$ lines & $\left(n^2 - 3n + 2\right) / 2$\\ + \#labeled rooted trees & $n^{n-1}$\\ + \#labeled unrooted trees & $n^{n-2}$\\ \hline \end{tabular}
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