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diff --git a/graph/graph.tex b/graph/graph.tex index f2ad3e7..e299dd7 100644 --- a/graph/graph.tex +++ b/graph/graph.tex @@ -1,33 +1,27 @@ \section{Graphen} -\begin{algorithm}{DFS} - \input{graph/dfs} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Minimale Spannbäume} - \paragraph{Schnitteigenschaft} - Für jeden Schnitt $C$ im Graphen gilt: - Gibt es eine Kante $e$, die echt leichter ist als alle anderen Schnittkanten, so gehört diese zu allen minimalen Spannbäumen. - ($\Rightarrow$ Die leichteste Kante in einem Schnitt kann in einem minimalen Spannbaum verwendet werden.) - - \paragraph{Kreiseigenschaft} - Für jeden Kreis $K$ im Graphen gilt: - Die schwerste Kante auf dem Kreis ist nicht Teil des minimalen Spannbaums. -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Kruskal} - \begin{methods}[ll] - berechnet den Minimalen Spannbaum & \runtime{\abs{E}\cdot\log(\abs{E})} \\ +\begin{algorithm}{Eulertouren} + \begin{methods} + \method{euler}{berechnet den Kreis}{\abs{V}+\abs{E}} \end{methods} - \sourcecode{graph/kruskal.cpp} + \sourcecode{graph/euler.cpp} + \begin{itemize} + \item Zyklus existiert, wenn jeder Knoten geraden Grad hat (ungerichtet),\\ bei jedem Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen (gerichtet). + \item Pfad existiert, wenn genau $\{0, 2\}$ Knoten ungeraden Grad haben (ungerichtet),\\ bei allen Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen oder einer eine Ausgangskante mehr hat (Startknoten) und einer eine Eingangskante mehr hat (Endknoten). + \item \textbf{Je nach Aufgabenstellung überprüfen, wie ein unzusammenhängender Graph interpretiert werden sollen.} + \item Wenn eine bestimmte Sortierung verlangt wird oder Laufzeit vernachlässigbar ist, ist eine Implementierung mit einem \code{vector<set<int>> adjlist} leichter + \item \textbf{Wichtig:} Algorithmus schlägt nicht fehl, falls kein Eulerzyklus existiert. + Die Existenz muss separat geprüft werden. + \end{itemize} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Erd\H{o}s-Gallai} - Sei $d_1 \geq \cdots \geq d_{n}$. Es existiert genau dann ein Graph $G$ mit Degreesequence $d$ falls $\sum\limits_{i=1}^{n} d_i$ gerade ist und für $1\leq k \leq n$: $\sum\limits_{i=1}^{k} d_i \leq k\cdot(k-1)+\sum\limits_{i=k+1}^{n} \min(d_i, k)$ +\begin{algorithm}{Lowest Common Ancestor} \begin{methods} - \method{havelHakimi}{findet Graph}{(\abs{V}+\abs{E})\cdot\log(\abs{V})} + \method{init}{baut DFS-Baum über $g$ auf}{\abs{V}\*\log(\abs{V})} + \method{getLCA}{findet LCA}{1} + \method{getDepth}{berechnet Distanz zur Wurzel im DFS-Baum}{1} \end{methods} - \sourcecode{graph/havelHakimi.cpp} + \sourcecode{graph/LCA_sparse.cpp} \end{algorithm} \begin{algorithm}{Centroids} @@ -37,24 +31,52 @@ \sourcecode{graph/centroid.cpp} \end{algorithm} +\begin{algorithm}{Heavy-Light Decomposition} + \begin{methods} + \method{get\_intervals}{gibt Zerlegung des Pfades von $u$ nach $v$}{\log(\abs{V})} + \end{methods} + \textbf{Wichtig:} Intervalle sind halboffen + + Subbaum unter dem Knoten $v$ ist das Intervall $[\text{\code{in[v]}},~\text{\code{out[v]}})$. + \sourcecode{graph/hld.cpp} +\end{algorithm} +\clearpage + \begin{algorithm}{Baum-Isomorphie} \begin{methods} \method{treeLabel}{berechnet kanonischen Namen für einen Baum}{\abs{V}\*\log(\abs{V})} \end{methods} \sourcecode{graph/treeIsomorphism.cpp} \end{algorithm} -\clearpage -\subsection{Kürzeste Wege} +\begin{algorithm}{Minimale Spannbäume} + \paragraph{Schnitteigenschaft} + Für jeden Schnitt $C$ im Graphen gilt: + Gibt es eine Kante $e$, die echt leichter ist als alle anderen Schnittkanten, so gehört diese zu allen minimalen Spannbäumen. + ($\Rightarrow$ Die leichteste Kante in einem Schnitt kann in einem minimalen Spannbaum verwendet werden.) + + \paragraph{Kreiseigenschaft} + Für jeden Kreis $K$ im Graphen gilt: + Die schwerste Kante auf dem Kreis ist nicht Teil des minimalen Spannbaums. +\end{algorithm} -\subsubsection{Algorithmus von \textsc{Dijkstra}} -\method{dijkstra}{kürzeste Pfade in Graphen ohne negative Kanten}{\abs{E}\*\log(\abs{V})} -\sourcecode{graph/dijkstra.cpp} +\begin{algorithm}{Kruskal} + \begin{methods}[ll] + berechnet den Minimalen Spannbaum & \runtime{\abs{E}\cdot\log(\abs{E})} \\ + \end{methods} + \sourcecode{graph/kruskal.cpp} +\end{algorithm} + +\subsection{Kürzeste Wege} \subsubsection{\textsc{Bellmann-Ford}-Algorithmus} \method{bellmanFord}{kürzeste Pfade oder negative Kreise finden}{\abs{V}\*\abs{E}} \sourcecode{graph/bellmannFord.cpp} +\subsubsection{Algorithmus von \textsc{Dijkstra}} +\method{dijkstra}{kürzeste Pfade in Graphen ohne negative Kanten}{\abs{E}\*\log(\abs{V})} +\sourcecode{graph/dijkstra.cpp} + \subsubsection{\textsc{Floyd-Warshall}-Algorithmus} \method{floydWarshall}{kürzeste Pfade oder negative Kreise finden}{\abs{V}^3} \begin{itemize} @@ -64,37 +86,31 @@ \sourcecode{graph/floydWarshall.cpp} \subsubsection{Matrix-Algorithmus} -Sei $d_{ij}$ die Distanzmatrix von $G$, dann gibt $d_{ij}^k$ die kürzeste Distanz von $i$ nach $j$ mit maximal $k$ kanten an mit der Verknüpfung: $c_{ij} = a_{ij} * b_{ij} = \min\{a_{ik} + b_{kj}\}$ +Sei $d_{i\smash{j}}$ die Distanzmatrix von $G$, dann gibt $d_{i\smash{j}}^k$ die kürzeste Distanz von $i$ nach $j$ mit maximal $k$ kanten an mit der Verknüpfung: $c_{i\smash{j}} = a_{i\smash{j}} \otimes b_{i\smash{j}} = \min\{a_{ik} + b_{k\smash{j}}\}$ -Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, dann gibt $a_{ij}^k$ die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ mit Länge genau \textcolor{gray}{(maximal)} $k$ an mit der Verknüpfung: $c_{ij} = a_{ij} \* b_{ij} = \sum a_{ik} + b_{kj}$ +Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, dann gibt $a_{i\smash{j}}^k$ die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ mit Länge genau \textcolor{gray}{(maximal)} $k$ an mit der Verknüpfung: $c_{i\smash{j}} = a_{i\smash{j}} \otimes b_{i\smash{j}} = \sum a_{ik} + b_{k\smash{j}}$ -\begin{algorithm}{Lowest Common Ancestor} + +\begin{algorithm}{Erd\H{o}s-Gallai} + Sei $d_1 \geq \cdots \geq d_{n}$. Es existiert genau dann ein Graph $G$ mit Degreesequence $d$ falls $\sum\limits_{i=1}^{n} d_i$ gerade ist und für $1\leq k \leq n$: $\sum\limits_{i=1}^{k} d_i \leq k\cdot(k-1)+\sum\limits_{i=k+1}^{n} \min(d_i, k)$ \begin{methods} - \method{init}{baut DFS-Baum über $g$ auf}{\abs{V}\*\log(\abs{V})} - \method{getLCA}{findet LCA}{1} - \method{getDepth}{berechnet Distanz zur Wurzel im DFS-Baum}{1} + \method{havelHakimi}{findet Graph}{(\abs{V}+\abs{E})\cdot\log(\abs{V})} \end{methods} - \sourcecode{graph/LCA_sparse.cpp} + \sourcecode{graph/havelHakimi.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Heavy-Light Decomposition} +\begin{algorithm}{Dynamic Connectivity} \begin{methods} - \method{get\_intervals}{gibt Zerlegung des Pfades von $u$ nach $v$}{\log(\abs{V})} + \method{Constructor}{erzeugt Baum ($n$ Knoten, $m$ updates)}{n+m} + \method{addEdge}{fügt Kannte ein,\code{id}=delete Zeitpunkt}{\log(n)} + \method{eraseEdge}{entfernt Kante \code{id}}{\log(n)} \end{methods} - \textbf{Wichtig:} Intervalle sind halboffen - - Subbaum unter dem Knoten $v$ ist das Intervall $[\text{\code{in[v]}},~\text{\code{out[v]}})$. - \sourcecode{graph/hld.cpp} + \sourcecode{graph/connect.cpp} \end{algorithm} -\clearpage -\begin{algorithm}{Maximal Cliques} - \begin{methods} - \method{bronKerbosch}{berechnet alle maximalen Cliquen}{3^\frac{n}{3}} - \method{addEdge}{fügt \textbf{ungerichtete} Kante ein}{1} - \end{methods} - \sourcecode{graph/bronKerbosch.cpp} +\begin{algorithm}{DFS} + \input{graph/dfs} \end{algorithm} \begin{algorithm}{Artikulationspunkte, Brücken und BCC} @@ -116,6 +132,60 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/2sat.cpp} \end{algorithm} +\begin{algorithm}{Maximal Cliques} + \begin{methods} + \method{bronKerbosch}{berechnet alle maximalen Cliquen}{3^\frac{n}{3}} + \method{addEdge}{fügt \textbf{ungerichtete} Kante ein}{1} + \end{methods} + \sourcecode{graph/bronKerbosch.cpp} +\end{algorithm} +\clearpage + +\begin{algorithm}{Cycle Counting} + \begin{methods} + \method{findBase}{berechnet Basis}{\abs{V}\cdot\abs{E}} + \method{count}{zählt Zykel}{2^{\abs{\mathit{base}}}} + \end{methods} + \begin{itemize} + \item jeder Zyklus ist das xor von einträgen in \code{base}. + \end{itemize} + \sourcecode{graph/cycleCounting.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Wert des maximalen Matchings} + Fehlerwahrscheinlichkeit: $\left(\frac{m}{MOD}\right)^I$ + \sourcecode{graph/matching.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Allgemeines maximales Matching} + \begin{methods} + \method{match}{berechnet algemeines Matching}{\abs{E}\*\abs{V}\*\log(\abs{V})} + \end{methods} + \sourcecode{graph/blossom.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Maximal Cardinatlity Bipartite Matching} + \label{kuhn} + \begin{methods} + \method{kuhn}{berechnet Matching}{\abs{V}\*\min(ans^2, \abs{E})} + \end{methods} + \begin{itemize} + \item die ersten [0..n) Knoten in \code{adjlist} sind die linke Seite des Graphen + \end{itemize} + \sourcecode{graph/maxCarBiMatch.cpp} + \begin{methods} + \method{hopcroft\_karp}{berechnet Matching}{\sqrt{\abs{V}}\*\abs{E}} + \end{methods} + \sourcecode{graph/hopcroftKarp.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Maximum Weight Bipartite Matching} + \begin{methods} + \method{match}{berechnet Matching}{\abs{V}^3} + \end{methods} + \sourcecode{graph/maxWeightBipartiteMatching.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Global Mincut} \begin{methods} \method{stoer\_wagner}{berechnet globalen Mincut}{\abs{V}^2\*\log(\abs{E})} @@ -178,87 +248,16 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/minCostMaxFlow.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Maximal Cardinatlity Bipartite Matching} - \label{kuhn} - \begin{methods} - \method{kuhn}{berechnet Matching}{\abs{V}\*\min(ans^2, \abs{E})} - \end{methods} - \begin{itemize} - \item die ersten [0..n) Knoten in \code{adjlist} sind die linke Seite des Graphen - \end{itemize} - \sourcecode{graph/maxCarBiMatch.cpp} - \begin{methods} - \method{hopcroft\_karp}{berechnet Matching}{\sqrt{\abs{V}}\*\abs{E}} - \end{methods} - \sourcecode{graph/hopcroftKarp.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Maximum Weight Bipartite Matching} - \begin{methods} - \method{match}{berechnet Matching}{\abs{V}^3} - \end{methods} - \sourcecode{graph/maxWeightBipartiteMatching.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Wert des maximalen Matchings} - Fehlerwahrscheinlichkeit: $\left(\frac{m}{MOD}\right)^I$ - \sourcecode{graph/matching.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Allgemeines maximales Matching} - \begin{methods} - \method{match}{berechnet algemeines Matching}{\abs{E}\*\abs{V}\*\log(\abs{V})} - \end{methods} - \sourcecode{graph/blossom.cpp} -\end{algorithm} - -\optional{ -\begin{algorithm}{TSP} +\begin{algorithm}[optional]{TSP} \begin{methods} \method{TSP}{berechnet eine Tour}{n^2\*2^n} \end{methods} \sourcecode{graph/TSP.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Bitonic TSP} +\begin{algorithm}[optional]{Bitonic TSP} \begin{methods} \method{bitonicTSP}{berechnet eine Bitonische Tour}{n^2} \end{methods} \sourcecode{graph/bitonicTSPsimple.cpp} \end{algorithm} -} - -\begin{algorithm}{Cycle Counting} - \begin{methods} - \method{findBase}{berechnet Basis}{\abs{V}\cdot\abs{E}} - \method{count}{zählt Zykel}{2^{\abs{\mathit{base}}}} - \end{methods} - \begin{itemize} - \item jeder Zyklus ist das xor von einträgen in \code{base}. - \end{itemize} - \sourcecode{graph/cycleCounting.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Eulertouren} - \begin{methods} - \method{euler}{berechnet den Kreis}{\abs{V}+\abs{E}} - \end{methods} - \sourcecode{graph/euler.cpp} - \begin{itemize} - \item Zyklus existiert, wenn jeder Knoten geraden Grad hat (ungerichtet),\\ bei jedem Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen (gerichtet). - \item Pfad existiert, wenn genau $\{0, 2\}$ Knoten ungeraden Grad haben (ungerichtet),\\ bei allen Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen oder einer eine Ausgangskante mehr hat (Startknoten) und einer eine Eingangskante mehr hat (Endknoten). - \item \textbf{Je nach Aufgabenstellung überprüfen, wie ein unzusammenhängender Graph interpretiert werden sollen.} - \item Wenn eine bestimmte Sortierung verlangt wird oder Laufzeit vernachlässigbar ist, ist eine Implementierung mit einem \code{vector<set<int>> adjlist} leichter - \item \textbf{Wichtig:} Algorithmus schlägt nicht fehl, falls kein Eulerzyklus existiert. - Die Existenz muss separat geprüft werden. - \end{itemize} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Dynamic Connectivity} - \begin{methods} - \method{Constructor}{erzeugt Baum ($n$ Knoten, $m$ updates)}{n+m} - \method{addEdge}{fügt Kannte ein,\code{id}=delete Zeitpunkt}{\log(n)} - \method{eraseEdge}{entfernt Kante \code{id}}{\log(n)} - \end{methods} - \sourcecode{graph/connect.cpp} -\end{algorithm} |