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diff --git a/geometry/geometry.tex b/geometry/geometry.tex index 13291eb..d740f46 100644 --- a/geometry/geometry.tex +++ b/geometry/geometry.tex @@ -9,10 +9,10 @@ \begin{algorithm}{Konvexe Hülle} \begin{methods} - \method{convexHull}{berechnet Konvexe Hülle}{n\*\log(n)} + \method{convexHull}{berechnet konvexe Hülle}{n\*\log(n)} \end{methods} \begin{itemize} - \item Konvexe Hülle gegen den Uhrzeigersinn sortiert + \item konvexe Hülle gegen den Uhrzeigersinn sortiert \item nur Eckpunkte enthalten(für alle Punkte = im CCW Test entfernen) \item erster und letzter Punkt sind identisch \end{itemize} diff --git a/graph/graph.tex b/graph/graph.tex index e9c32c7..4394192 100644 --- a/graph/graph.tex +++ b/graph/graph.tex @@ -71,7 +71,7 @@ Die schwerste Kante auf dem Kreis ist nicht Teil des minimalen Spannbaums. \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Kruskal} +\begin{algorithm}{\textsc{Kruskal}} \begin{methods}[ll] berechnet den Minimalen Spannbaum & \runtime{\abs{E}\cdot\log(\abs{E})} \\ \end{methods} @@ -103,7 +103,7 @@ Sei $d_{i\smash{j}}$ die Distanzmatrix von $G$, dann gibt $d_{i\smash{j}}^k$ die Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, dann gibt $a_{i\smash{j}}^k$ die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ mit Länge genau \textcolor{gray}{(maximal)} $k$ an mit der Verknüpfung: $c_{i\smash{j}} = a_{i\smash{j}} \otimes b_{i\smash{j}} = \sum a_{ik} + b_{k\smash{j}}$ -\begin{algorithm}{Erd\H{o}s-Gallai} +\begin{algorithm}{\textsc{Erd\H{o}s-Gallai}} Sei $d_1 \geq \cdots \geq d_{n}$. Es existiert genau dann ein Graph $G$ mit Degreesequence $d$ falls $\sum\limits_{i=1}^{n} d_i$ gerade ist und für $1\leq k \leq n$: $\sum\limits_{i=1}^{k} d_i \leq k\cdot(k-1)+\sum\limits_{i=k+1}^{n} \min(d_i, k)$ \begin{methods} \method{havelHakimi}{findet Graph}{(\abs{V}+\abs{E})\cdot\log(\abs{V})} @@ -223,9 +223,9 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \end{methods} \sourcecode{graph/pushRelabel2.cpp} -\subsubsection{Dinic's Algorithm mit Capacity Scaling} +\subsubsection{\textsc{Dinic}'s Algorithm mit Capacity Scaling} \begin{methods} - \method{maxFlow}{doppelt so schnell wie Ford Fulkerson}{\abs{V}^2\cdot\abs{E}} + \method{maxFlow}{doppelt so schnell wie \textsc{Ford-Fulkerson}}{\abs{V}^2\cdot\abs{E}} \method{addEdge}{fügt eine \textbf{gerichtete} Kante ein}{1} \end{methods} \sourcecode{graph/dinicScaling.cpp} diff --git a/math/linearRecurence.cpp b/math/linearRecurrence.cpp index 2501e64..2501e64 100644 --- a/math/linearRecurence.cpp +++ b/math/linearRecurrence.cpp diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index 8ccc55e..a9e4c74 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -151,21 +151,21 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/discreteNthRoot.cpp}
\end{algorithm}
-\begin{algorithm}{Linearessieb und Multiplikative Funktionen}
+\begin{algorithm}{Lineares Sieb und multiplikative Funktionen}
Eine (zahlentheoretische) Funktion $f$ heißt multiplikativ wenn $f(1)=1$ und $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$, falls $\ggT(a,b)=1$.
$\Rightarrow$ Es ist ausreichend $f(p^k)$ für alle primen $p$ und alle $k$ zu kennen.
\begin{methods}
\method{sieve}{berechnet Primzahlen und co.}{N}
- \method{sieved}{Wert der endsprechenden Multiplikativen Funktion}{1}
+ \method{sieved}{Wert der entsprechenden multiplikativen Funktion}{1}
- \method{naive}{Wert der endsprechenden Multiplikativen Funktion}{\sqrt{n}}
+ \method{naive}{Wert der entsprechenden multiplikativen Funktion}{\sqrt{n}}
\end{methods}
\textbf{Wichtig:} Sieb rechts ist schneller für \code{isPrime} oder \code{primes}!
\sourcecode{math/linearSieve.cpp}
- \textbf{\textsc{Möbius} Funtkion:}
+ \textbf{\textsc{Möbius} Funktion:}
\begin{itemize}
\item $\mu(n)=+1$, falls $n$ quadratfrei ist und gerade viele Primteiler hat
\item $\mu(n)=-1$, falls $n$ quadratfrei ist und ungerade viele Primteiler hat
@@ -178,7 +178,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \item $p$ prim, $k \in \mathbb{N}$:
$~\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$
- \item \textbf{Euler's Theorem:}
+ \item \textbf{\textsc{Euler}'s Theorem:}
Für $b \geq \varphi(c)$ gilt: $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \pmod{c}$. Darüber hinaus gilt: $\gcd(a, c) = 1 \Leftrightarrow a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c)} \pmod{c}$.
Falls $m$ prim ist, liefert das den \textbf{kleinen Satz von \textsc{Fermat}}:
$a^{m} \equiv a \pmod{m}$
@@ -282,18 +282,18 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \end{methods}
\sourcecode{math/piLehmer.cpp}
-\begin{algorithm}{Lineare-Recurenz}
+\begin{algorithm}{Lineare Rekurrenz}
\begin{methods}
- \method{BerlekampMassey}{Berechnet eine lineare Recurenz $n$-ter Ordnung}{n^2}
+ \method{BerlekampMassey}{Berechnet eine lineare Rekurrenz $n$-ter Ordnung}{n^2}
\method{}{aus den ersten $2n$ Werte}{}
\end{methods}
\sourcecode{math/berlekampMassey.cpp}
- Sei $f(n)=c_{n-1}f(n-1)+c_{n-2}f(n-2)+\dots + c_0f(0)$ eine lineare Recurenz.
+ Sei $f(n)=c_{n-1}f(n-1)+c_{n-2}f(n-2)+\dots + c_0f(0)$ eine lineare Rekurrenz.
\begin{methods}
- \method{kthTerm}{Berechnet $k$-ten Term einer Recurenz $n$-ter Ordnung}{\log(k)\cdot n^2}
+ \method{kthTerm}{Berechnet $k$-ten Term einer Rekurrenz $n$-ter Ordnung}{\log(k)\cdot n^2}
\end{methods}
- \sourcecode{math/linearRecurence.cpp}
+ \sourcecode{math/linearRecurrence.cpp}
Alternativ kann der \mbox{$k$-te} Term in \runtime{n^3\log(k)} berechnet werden:
$$\renewcommand\arraystretch{1.5}
\setlength\arraycolsep{3pt}
@@ -375,7 +375,7 @@ Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \text \subsection{Kombinatorik}
-\paragraph{Wilsons Theorem}
+\paragraph{\textsc{Wilson}'s Theorem}
A number $n$ is prime if and only if
$(n-1)!\equiv -1\bmod{n}$.\\
($n$ is prime if and only if $(m-1)!\cdot(n-m)!\equiv(-1)^m\bmod{n}$ for all $m$ in $\{1,\dots,n\}$)
@@ -387,14 +387,14 @@ $(n-1)!\equiv -1\bmod{n}$.\\ \end{cases}
\end{align*}
-\paragraph{\textsc{Zeckendorfs} Theorem}
+\paragraph{\textsc{Zeckendorf}'s Theorem}
Jede positive natürliche Zahl kann eindeutig als Summe einer oder mehrerer
verschiedener \textsc{Fibonacci}-Zahlen geschrieben werden, sodass keine zwei
aufeinanderfolgenden \textsc{Fibonacci}-Zahlen in der Summe vorkommen.\\
\emph{Lösung:} Greedy, nimm immer die größte \textsc{Fibonacci}-Zahl, die noch
hineinpasst.
-\paragraph{\textsc{Lucas}-Theorem}
+\paragraph{\textsc{Lucas}'s Theorem}
Ist $p$ prim, $m=\sum_{i=0}^km_ip^i$, $n=\sum_{i=0}^kn_ip^i$ ($p$-adische Darstellung),
so gilt
\vspace{-0.75\baselineskip}
@@ -405,6 +405,7 @@ so gilt %\begin{algorithm}{Binomialkoeffizienten}
\paragraph{Binomialkoeffizienten}
Die Anzahl der \mbox{$k$-elementigen} Teilmengen einer \mbox{$n$-elementigen} Menge.
+
\begin{methods}
\method{precalc}{berechnet $n!$ und $n!^{-1}$ vor}{\mathit{lim}}
\method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient}{1}
diff --git a/string/string.tex b/string/string.tex index c36ec69..aec50d5 100644 --- a/string/string.tex +++ b/string/string.tex @@ -60,21 +60,21 @@ \sourcecode{string/ahoCorasick.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Lyndon und De-Bruijn} +\begin{algorithm}{\textsc{Lyndon} und \textsc{De-Bruijn}} \begin{itemize} - \item \textbf{Lyndon-Wort:} Ein Wort das lexikographisch kleiner ist als jede seiner Rotationen. - \item Jedes Wort kann \emph{eindeutig} in eine nicht ansteigende Folge von Lyndon-Worten zerlegt werden. - \item Für Lyndon-Worte $u, v$ mit $u<v$ gilt, dass $uv$ auch ein Lyndon-Wort ist. + \item \textbf{\textsc{Lyndon}-Wort:} Ein Wort das lexikographisch kleiner ist als jede seiner Rotationen. + \item Jedes Wort kann \emph{eindeutig} in eine nicht ansteigende Folge von \textsc{Lyndon}-Worten zerlegt werden. + \item Für \textsc{Lyndon}-Worte $u, v$ mit $u<v$ gilt, dass $uv$ auch ein \textsc{Lyndon}-Wort ist. \end{itemize} \begin{methods} - \method[, Durchschnitt $\Theta(1)$]{next}{lexikographisch nächstes Lyndon-Wort}{n} - \method{duval}{zerlegt $s$ in Lyndon-Worte}{n} + \method[, Durchschnitt $\Theta(1)$]{next}{lexikographisch nächstes \textsc{Lyndon}-Wort}{n} + \method{duval}{zerlegt $s$ in \textsc{Lyndon}-Worte}{n} \method{minrotation}{berechnet kleinste Rotation von $s$}{n} \end{methods} \sourcecode{string/lyndon.cpp} \sourcecode{string/duval.cpp} \begin{itemize} - \item \textbf{De-Bruijn-Sequenze $\boldsymbol{B(\Sigma, n)}$:}~~~ein Wort das jedes Wort der Länge $n$ genau einmal als substring enthält (und minimal ist). Wobei $B(\Sigma, n)$ zyklisch betrachtet wird. + \item \textbf{\textsc{De-Bruijn}-Sequenz $\boldsymbol{B(\Sigma, n)}$:}~~~ein Wort das jedes Wort der Länge $n$ genau einmal als substring enthält (und minimal ist). Wobei $B(\Sigma, n)$ zyklisch betrachtet wird. \item es gibt $\frac{(k!)^{k^{n-1}}}{k^{n}}$ verschiedene $B(\Sigma, n)$ \item $B(\Sigma, n)$ hat Länge $\abs{\Sigma}^n$ \end{itemize} |