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| author | mzuenni <michi.zuendorf@gmail.com> | 2023-02-23 18:16:53 +0100 |
|---|---|---|
| committer | mzuenni <michi.zuendorf@gmail.com> | 2023-02-23 18:16:53 +0100 |
| commit | 63a38d41b3c2b50429d4af7b3cdffdcdd915e3b7 (patch) | |
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diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index d648582..3e5e3e0 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -388,6 +388,13 @@ so gilt \item Formel $2$ und $3$ erlauben Berechnung in \runtime{n} \end{itemize} +\paragraph{\textsc{Catalan}-Convolution} +\begin{itemize} + \item Anzahl an Klammerausdrücken mit $n+k$ Klammerpaaren, die mit $(^k$ beginnen. +\end{itemize} +\[C^k_0 = 1\qquad C^k_n = \sum\limits_{\mathclap{a_0+a_1+\dots+a_k=n}} C_{a_0}C_{a_1}\cdots C_{a_k} = +\frac{k+1}{n+k+1}\binom{2n+k}{n} = \frac{(2n+k-1)\cdot(2n+k)}{n(n+k+1)} \cdot C_{n-1}\] + \paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung} Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Anstiegen. Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen. @@ -453,6 +460,7 @@ Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$. Die Anzahl der \mbox{$k$-elementigen} Teilmengen einer \mbox{$n$-elementigen} Menge. \textbf{WICHTIG:} Binomialkoeffizient in \runtime{1} berechnen indem man $x!$ vorberechnet. +\columnbreak %\begin{algorithm}{Binomialkoeffizienten} \begin{methods} @@ -463,7 +471,6 @@ Die Anzahl der \mbox{$k$-elementigen} Teilmengen einer \mbox{$n$-elementigen} Me \begin{methods} \method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient modulo Primzahl $p$}{p-n} \end{methods} - \textbf{Wichtig:} $p > n$ \sourcecode{math/binomial3.cpp} \begin{methods} |
