\section{Datenstrukturen}

\begin{algorithm}{Segmentbaum}
	\begin{methods}
		\method{SegTree}{baut den Baum auf}{n}
		\method{query}{findet Summe über $[l, r)$}{\log(n)}
		\method{update}{ändert einen Wert}{\log(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/segmentTree.cpp}
	
	\subsubsection{Lazy Propagation}
	Assignment modifications, sum queries \\
	\method{lower\_bound}{erster Index in $[l, r)$ $\geq x$ (erfordert max-combine)}{\log(n)}
	\sourcecode{datastructures/lazyPropagation.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{Wavelet Tree}
	\begin{methods}
		\method{WaveletTree}{baut den Baum auf}{n\*\log(\Sigma)}
		\method{kth}{sort $[l, r)[k]$}{\log(\Sigma)}
		\method{countSmaller}{Anzahl elemente in $[l, r)$ kleiner als $k$}{\log(\Sigma)}
	\end{methods}
	$\Sigma$ ist die Gr\"o\ss e des Eingabebereichs, d.h.
	$\mathit{max} - \mathit{min}$.
	\sourcecode{datastructures/waveletTree.cpp}
\end{algorithm}
\columnbreak

\begin{algorithm}{Fenwick Tree}
	\begin{methods}
		\method{init}{baut den Baum auf}{n\*\log(n)}
		\method{prefix\_sum}{summe von $[0, i)$}{\log(n)}
		\method{update}{addiert ein Delta zu einem Element}{\log(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/fenwickTree.cpp}
	
	\begin{methods}
		\method{init}{baut den Baum auf}{n\*\log(n)}
		\method{prefix\_sum}{summe von $[0, i)$}{\log(n)}
		\method{update}{addiert ein Delta zu allen Elementen $[l, r)$}{\log(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/fenwickTree2.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{STL-Rope (Implicit Cartesian Tree)}
	\sourcecode{datastructures/stlRope.cpp}
\end{algorithm}
\columnbreak

\begin{algorithm}{(Implicit) Treap (Cartesian Tree)}
	\begin{methods}
		\method{insert}{fügt wert $\mathit{val}$ an stelle $i$ ein (verschiebt alle Positionen $\geq i$)}{\log(n)}
		\method{remove}{löscht werte $[i,i+\mathit{count})$}{\log(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/treap2.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{Range Minimum Query}
	\begin{methods}
		\method{init}{baut Struktur auf}{n\*\log(n)}
		\method{queryIdempotent}{Index des Minimums in $[l, r)$}{1}
	\end{methods}
	\begin{itemize}
		\item \code{better}-Funktion muss idempotent sein!
	\end{itemize}
	\sourcecode{datastructures/sparseTable.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}[optional]{Range Aggregate Query}
	\begin{methods}
		\method{init}{baut Struktur auf}{n\*\log(n)}
		\method{query}{Aggregat über $[l,r)$}{1}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/sparseTableDisjoint.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{STL-Bitset}
	\sourcecode{datastructures/bitset.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{Link-Cut-Tree}
	\begin{methods}
		\method{LCT}{baut Wald auf}{n}
		\method{connected}{prüft ob zwei Knoten im selben Baum liegen}{\log(n)}
		\method{link}{fügt $\{x,y\}$ Kante ein}{\log(n)}
		\method{cut}{entfernt $\{x,y\}$ Kante}{\log(n)}
		\method{lca}{berechnet LCA von $x$ und $y$}{\log(n)}
		\method{query}{berechnet \code{query} auf den Knoten des $xy$-Pfades}{\log(n)}
		\method{modify}{erhöht jeden wert auf dem $xy$-Pfad}{\log(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/LCT.cpp}
\end{algorithm}
\columnbreak

\begin{algorithm}{Lower Envelope (Convex Hull Optimization)}
	Um aus einem Lower Envelope einen Upper Envelope zu machen (oder
	umgekehrt), einfach beim Einfügen der Geraden $m$ und $b$ negieren.
	\subsubsection{Monotonic}
	\begin{methods}
		\method{add}{add line $mx + b$, $m$ is decreasing}{1}
		\method{query}{minimum value at $x$, $x$ is increasing}{1}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/monotonicConvexHull.cpp}
	\subsubsection{Dynamic}
	\begin{methods}
		\method{add}{add line $mx + b$}{\log(n)}
		\method{query}{minimum value at $x$}{\log(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/dynamicConvexHull.cpp}
	\subsubsection{Li Chao Tree}
	Every pair of functions has at most one intersection.

	\begin{methods}
		\method{insert}{add function}{\log(|xs|)}
		\method{query}{minimum value at $x$, $x \in xs$}{\log(|xs|)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/lichao.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{Policy Based Data Structures}
	\sourcecode{datastructures/pbds.cpp}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}{Union-Find}
	\begin{methods}
		\method{init}{legt $n$ einzelne Unions an}{n}
		\method{findSet}{findet den Repräsentanten}{\log(n)}
		\method{unionSets}{vereint 2 Mengen}{\log(n)}
		\method{size}{zählt Elemente in Menge, die $a$ enthält}{\log(n)}
		\method{m\*findSet + n\*unionSets}{Folge von Befehlen}{n+m\*\alpha(n)}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/unionFind.cpp}
\end{algorithm}
\columnbreak

\begin{algorithm}{Persistent}
	\begin{methods}
		\method{get}{berechnet Wert zu Zeitpunkt $t$}{\log(t)}
		\method{set}{ändert Wert zu Zeitpunkt $t$}{\log(t)}
		\method{reset}{setzt die Datenstruktur auf Zeitpunkt $t$}{1}
	\end{methods}
	\sourcecode{datastructures/persistent.cpp}
	\sourcecode{datastructures/persistentArray.cpp}
\end{algorithm}
