From 9906aa7bbf98bee5cdb91e80f6a2311e43129c7d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yidi Date: Wed, 20 Mar 2024 21:33:18 +0100 Subject: improve aho corasick --- string/string.tex | 10 ++++++---- 1 file changed, 6 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'string/string.tex') diff --git a/string/string.tex b/string/string.tex index c36ec69..526faa2 100644 --- a/string/string.tex +++ b/string/string.tex @@ -49,16 +49,18 @@ \begin{algorithm}{\textsc{Aho-Corasick}-Automat} \begin{methods}[ll] - sucht patterns im Text & \runtime{\abs{Text}+\sum\abs{pattern}+\abs{matches}} + sucht patterns im Text & \runtime{\abs{Text}+\sum\abs{pattern}} \end{methods} \begin{enumerate} - \item mit \code{addString(pattern, idx);} Patterns hinzufügen. + \item mit \code{addString(pattern, idx)} Patterns hinzufügen. + \item rufe \code{buildGraph()} auf \item mit \code{state = go(state, idx)} in nächsten Zustand wechseln. - \item mit \code{state = getExit(state)} den exit Kanten folgen bis \code{state == 0} - \item dabei mit \code{aho[state].patterns} die Matches zählen + \item erhöhe dabei \code{dp[state]++} + \item rufe \code{dfs()} auf. In dp[pattern state] stehen die Anzahl der Matches \end{enumerate} \sourcecode{string/ahoCorasick.cpp} \end{algorithm} +\clearpage \begin{algorithm}{Lyndon und De-Bruijn} \begin{itemize} -- cgit v1.2.3 From 36ba8589fa0154d73354bd8e0101213f2d5f9ba4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yidi Date: Fri, 22 Mar 2024 12:21:56 +0100 Subject: reorder to improve spacing --- datastructures/datastructures.tex | 62 ++++++------- geometry/geometry.tex | 17 ++-- graph/graph.tex | 133 +++++++++++++++------------ math/math.tex | 189 +++++++++++++++++++------------------- string/string.tex | 1 + tcr.pdf | Bin 667178 -> 664992 bytes tcr.tex | 3 +- 7 files changed, 208 insertions(+), 197 deletions(-) (limited to 'string/string.tex') diff --git a/datastructures/datastructures.tex b/datastructures/datastructures.tex index 4139219..1ccefaa 100644 --- a/datastructures/datastructures.tex +++ b/datastructures/datastructures.tex @@ -14,6 +14,15 @@ \sourcecode{datastructures/lazyPropagation.cpp} \end{algorithm} +\begin{algorithm}{Wavelet Tree} + \begin{methods} + \method{Constructor}{baut den Baum auf}{n\*\log(n)} + \method{kth}{sort $[l, r)[k]$}{\log(n)} + \method{countSmaller}{Anzahl elemente in $[l, r)$ kleiner als $k$}{\log(n)} + \end{methods} + \sourcecode{datastructures/waveletTree.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Fenwick Tree} \begin{methods} \method{init}{baut den Baum auf}{n\*\log(n)} @@ -29,11 +38,11 @@ \end{methods} \sourcecode{datastructures/fenwickTree2.cpp} \end{algorithm} -\clearpage \begin{algorithm}{STL-Rope (Implicit Cartesian Tree)} \sourcecode{datastructures/stlRope.cpp} \end{algorithm} +\columnbreak \begin{algorithm}{(Implicit) Treap (Cartesian Tree)} \begin{methods} @@ -54,15 +63,6 @@ \sourcecode{datastructures/sparseTable.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Wavelet Tree} - \begin{methods} - \method{Constructor}{baut den Baum auf}{n\*\log(n)} - \method{kth}{sort $[l, r)[k]$}{\log(n)} - \method{countSmaller}{Anzahl elemente in $[l, r)$ kleiner als $k$}{\log(n)} - \end{methods} - \sourcecode{datastructures/waveletTree.cpp} -\end{algorithm} - \begin{algorithm}{STL-Bitset} \sourcecode{datastructures/bitset.cpp} \end{algorithm} @@ -81,6 +81,23 @@ \end{algorithm} \clearpage +\begin{algorithm}{Lichao} + \sourcecode{datastructures/lichao.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Policy Based Data Structures} + \textbf{Wichtig:} Verwende \code{p.swap(p2)} anstatt \code{swap(p, p2)}! + \sourcecode{datastructures/stlPriorityQueue.cpp} + \columnbreak + \sourcecode{datastructures/pbds.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Lower/Upper Envelope (Convex Hull Optimization)} + Um aus einem lower envelope einen upper envelope zu machen (oder umgekehrt), einfach beim Einfügen der Geraden $m$ und $b$ negieren. + \sourcecode{datastructures/monotonicConvexHull.cpp} + \sourcecode{datastructures/dynamicConvexHull.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Union-Find} \begin{methods} \method{init}{legt $n$ einzelne Unions an}{n} @@ -90,13 +107,7 @@ \end{methods} \sourcecode{datastructures/unionFind.cpp} \end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Lower/Upper Envelope (Convex Hull Optimization)} - Um aus einem lower envelope einen upper envelope zu machen (oder umgekehrt), einfach beim Einfügen der Geraden $m$ und $b$ negieren. - \sourcecode{datastructures/monotonicConvexHull.cpp} - \columnbreak - \sourcecode{datastructures/dynamicConvexHull.cpp} -\end{algorithm} +\columnbreak \begin{algorithm}{Persistent} \begin{methods} @@ -108,22 +119,6 @@ \sourcecode{datastructures/persistentArray.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{STL-Tree} - \sourcecode{datastructures/stlTree.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{STL Priority Queue} - Nicht notwendig, wenn Smaller-Larger-Optimization greift. - \sourcecode{datastructures/stlPQ.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{STL HashMap} - 3 bis 4 mal langsamer als \code{std::vector} aber 8 bis 9 mal schneller als \code{std::map} - \sourcecode{datastructures/stlHashMap.cpp} -\end{algorithm} - - - \begin{algorithm}[optional]{Range Minimum Query} \begin{methods} \method{init}{baut Struktur auf}{n\*\log(n)} @@ -138,4 +133,3 @@ \end{methods} \sourcecode{datastructures/firstUnused.cpp} \end{algorithm} - diff --git a/geometry/geometry.tex b/geometry/geometry.tex index d3e1671..d753ed6 100644 --- a/geometry/geometry.tex +++ b/geometry/geometry.tex @@ -7,6 +7,14 @@ \sourcecode{geometry/closestPair.cpp} \end{algorithm} +\begin{algorithm}{Rotating calipers} + \begin{methods} + \method{antipodalPoints}{berechnet antipodale Punkte}{n} + \end{methods} + \textbf{WICHTIG:} Punkte müssen gegen den Uhrzeigersinn sortiert sein und konvexes Polygon bilden! + \sourcecode{geometry/antipodalPoints.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Konvexehülle} \begin{methods} \method{convexHull}{berechnet Konvexehülle}{n\*\log(n)} @@ -19,15 +27,6 @@ \sourcecode{geometry/convexHull.cpp} \end{algorithm} -\columnbreak -\begin{algorithm}{Rotating calipers} - \begin{methods} - \method{antipodalPoints}{berechnet antipodale Punkte}{n} - \end{methods} - \textbf{WICHTIG:} Punkte müssen gegen den Uhrzeigersinn sortiert sein und konvexes Polygon bilden! - \sourcecode{geometry/antipodalPoints.cpp} -\end{algorithm} - \subsection{Formeln~~--~\texttt{std::complex}} \sourcecode{geometry/formulars.cpp} \sourcecode{geometry/linesAndSegments.cpp} diff --git a/graph/graph.tex b/graph/graph.tex index 6fbdb74..060d157 100644 --- a/graph/graph.tex +++ b/graph/graph.tex @@ -1,18 +1,31 @@ \section{Graphen} -\begin{algorithm}{Eulertouren} +\begin{algorithm}{Kruskal} + \begin{methods}[ll] + berechnet den Minimalen Spannbaum & \runtime{\abs{E}\cdot\log(\abs{E})} \\ + \end{methods} + \sourcecode{graph/kruskal.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Minimale Spannbäume} + \paragraph{Schnitteigenschaft} + Für jeden Schnitt $C$ im Graphen gilt: + Gibt es eine Kante $e$, die echt leichter ist als alle anderen Schnittkanten, so gehört diese zu allen minimalen Spannbäumen. + ($\Rightarrow$ Die leichteste Kante in einem Schnitt kann in einem minimalen Spannbaum verwendet werden.) + + \paragraph{Kreiseigenschaft} + Für jeden Kreis $K$ im Graphen gilt: + Die schwerste Kante auf dem Kreis ist nicht Teil des minimalen Spannbaums. +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Heavy-Light Decomposition} \begin{methods} - \method{euler}{berechnet den Kreis}{\abs{V}+\abs{E}} + \method{get\_intervals}{gibt Zerlegung des Pfades von $u$ nach $v$}{\log(\abs{V})} \end{methods} - \sourcecode{graph/euler.cpp} - \begin{itemize} - \item Zyklus existiert, wenn jeder Knoten geraden Grad hat (ungerichtet),\\ bei jedem Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen (gerichtet). - \item Pfad existiert, wenn genau $\{0, 2\}$ Knoten ungeraden Grad haben (ungerichtet),\\ bei allen Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen oder einer eine Ausgangskante mehr hat (Startknoten) und einer eine Eingangskante mehr hat (Endknoten). - \item \textbf{Je nach Aufgabenstellung überprüfen, wie ein unzusammenhängender Graph interpretiert werden sollen.} - \item Wenn eine bestimmte Sortierung verlangt wird oder Laufzeit vernachlässigbar ist, ist eine Implementierung mit einem \code{vector> adj} leichter - \item \textbf{Wichtig:} Algorithmus schlägt nicht fehl, falls kein Eulerzyklus existiert. - Die Existenz muss separat geprüft werden. - \end{itemize} + \textbf{Wichtig:} Intervalle sind halboffen + + Subbaum unter dem Knoten $v$ ist das Intervall $[\text{\code{in[v]}},~\text{\code{out[v]}})$. + \sourcecode{graph/hld.cpp} \end{algorithm} \begin{algorithm}{Lowest Common Ancestor} @@ -31,16 +44,20 @@ \sourcecode{graph/centroid.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Heavy-Light Decomposition} +\begin{algorithm}{Eulertouren} \begin{methods} - \method{get\_intervals}{gibt Zerlegung des Pfades von $u$ nach $v$}{\log(\abs{V})} + \method{euler}{berechnet den Kreis}{\abs{V}+\abs{E}} \end{methods} - \textbf{Wichtig:} Intervalle sind halboffen - - Subbaum unter dem Knoten $v$ ist das Intervall $[\text{\code{in[v]}},~\text{\code{out[v]}})$. - \sourcecode{graph/hld.cpp} + \sourcecode{graph/euler.cpp} + \begin{itemize} + \item Zyklus existiert, wenn jeder Knoten geraden Grad hat (ungerichtet),\\ bei jedem Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen (gerichtet). + \item Pfad existiert, wenn genau $\{0, 2\}$ Knoten ungeraden Grad haben (ungerichtet),\\ bei allen Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen oder einer eine Ausgangskante mehr hat (Startknoten) und einer eine Eingangskante mehr hat (Endknoten). + \item \textbf{Je nach Aufgabenstellung überprüfen, wie ein unzusammenhängender Graph interpretiert werden sollen.} + \item Wenn eine bestimmte Sortierung verlangt wird oder Laufzeit vernachlässigbar ist, ist eine Implementierung mit einem \code{vector> adj} leichter + \item \textbf{Wichtig:} Algorithmus schlägt nicht fehl, falls kein Eulerzyklus existiert. + Die Existenz muss separat geprüft werden. + \end{itemize} \end{algorithm} -\clearpage \begin{algorithm}{Baum-Isomorphie} \begin{methods} @@ -49,24 +66,6 @@ \sourcecode{graph/treeIsomorphism.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Minimale Spannbäume} - \paragraph{Schnitteigenschaft} - Für jeden Schnitt $C$ im Graphen gilt: - Gibt es eine Kante $e$, die echt leichter ist als alle anderen Schnittkanten, so gehört diese zu allen minimalen Spannbäumen. - ($\Rightarrow$ Die leichteste Kante in einem Schnitt kann in einem minimalen Spannbaum verwendet werden.) - - \paragraph{Kreiseigenschaft} - Für jeden Kreis $K$ im Graphen gilt: - Die schwerste Kante auf dem Kreis ist nicht Teil des minimalen Spannbaums. -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Kruskal} - \begin{methods}[ll] - berechnet den Minimalen Spannbaum & \runtime{\abs{E}\cdot\log(\abs{E})} \\ - \end{methods} - \sourcecode{graph/kruskal.cpp} -\end{algorithm} - \subsection{Kürzeste Wege} \subsubsection{\textsc{Bellmann-Ford}-Algorithmus} @@ -91,6 +90,14 @@ Sei $d_{i\smash{j}}$ die Distanzmatrix von $G$, dann gibt $d_{i\smash{j}}^k$ die Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, dann gibt $a_{i\smash{j}}^k$ die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ mit Länge genau \textcolor{gray}{(maximal)} $k$ an mit der Verknüpfung: $c_{i\smash{j}} = a_{i\smash{j}} \otimes b_{i\smash{j}} = \sum a_{ik} + b_{k\smash{j}}$ +\begin{algorithm}{Dynamic Connectivity} + \begin{methods} + \method{Constructor}{erzeugt Baum ($n$ Knoten, $m$ updates)}{n+m} + \method{addEdge}{fügt Kannte ein,\code{id}=delete Zeitpunkt}{\log(n)} + \method{eraseEdge}{entfernt Kante \code{id}}{\log(n)} + \end{methods} + \sourcecode{graph/connect.cpp} +\end{algorithm} \begin{algorithm}{Erd\H{o}s-Gallai} Sei $d_1 \geq \cdots \geq d_{n}$. Es existiert genau dann ein Graph $G$ mit Degreesequence $d$ falls $\sum\limits_{i=1}^{n} d_i$ gerade ist und für $1\leq k \leq n$: $\sum\limits_{i=1}^{k} d_i \leq k\cdot(k-1)+\sum\limits_{i=k+1}^{n} \min(d_i, k)$ @@ -100,13 +107,11 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/havelHakimi.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Dynamic Connectivity} +\begin{algorithm}{Strongly Connected Components (\textsc{Tarjan})} \begin{methods} - \method{Constructor}{erzeugt Baum ($n$ Knoten, $m$ updates)}{n+m} - \method{addEdge}{fügt Kannte ein,\code{id}=delete Zeitpunkt}{\log(n)} - \method{eraseEdge}{entfernt Kante \code{id}}{\log(n)} + \method{scc}{berechnet starke Zusammenhangskomponenten}{\abs{V}+\abs{E}} \end{methods} - \sourcecode{graph/connect.cpp} + \sourcecode{graph/scc.cpp} \end{algorithm} \begin{algorithm}{DFS} @@ -121,13 +126,6 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/articulationPoints.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Strongly Connected Components (\textsc{Tarjan})} - \begin{methods} - \method{scc}{berechnet starke Zusammenhangskomponenten}{\abs{V}+\abs{E}} - \end{methods} - \sourcecode{graph/scc.cpp} -\end{algorithm} - \begin{algorithm}{2-SAT} \sourcecode{graph/2sat.cpp} \end{algorithm} @@ -139,7 +137,6 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \end{methods} \sourcecode{graph/bronKerbosch.cpp} \end{algorithm} -\clearpage \begin{algorithm}{Cycle Counting} \begin{methods} @@ -164,6 +161,14 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/blossom.cpp} \end{algorithm} +\begin{algorithm}{Rerooting Template} + \sourcecode{graph/reroot.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Virtual Trees} + \sourcecode{graph/virtualTree.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Maximal Cardinatlity Bipartite Matching} \label{kuhn} \begin{methods} @@ -179,13 +184,6 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/hopcroftKarp.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Maximum Weight Bipartite Matching} - \begin{methods} - \method{match}{berechnet Matching}{\abs{V}^3} - \end{methods} - \sourcecode{graph/maxWeightBipartiteMatching.cpp} -\end{algorithm} - \begin{algorithm}{Global Mincut} \begin{methods} \method{stoer\_wagner}{berechnet globalen Mincut}{\abs{V}\abs{E}+\abs{V}^2\*\log(\abs{E})} @@ -205,12 +203,21 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \sourcecode{graph/capacityScaling.cpp} } +\optional{ \subsubsection{Push Relabel} \begin{methods} \method{maxFlow}{gut bei sehr dicht besetzten Graphen.}{\abs{V}^2\*\sqrt{\abs{E}}} \method{addEdge}{fügt eine \textbf{gerichtete} Kante ein}{1} \end{methods} -\sourcecode{graph/pushRelabel2.cpp} +\sourcecode{graph/pushRelabel.cpp} +} + +\begin{algorithm}{Min-Cost-Max-Flow} + \begin{methods} + \method{mincostflow}{berechnet Fluss}{\abs{V}^2\cdot\abs{E}^2} + \end{methods} + \sourcecode{graph/minCostMaxFlow.cpp} +\end{algorithm} \subsubsection{Dinic's Algorithm mit Capacity Scaling} \begin{methods} @@ -218,6 +225,8 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \method{addEdge}{fügt eine \textbf{gerichtete} Kante ein}{1} \end{methods} \sourcecode{graph/dinicScaling.cpp} +\vfill* +\columnbreak \optional{ \subsubsection{Anwendungen} @@ -241,12 +250,15 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \end{itemize} } -\begin{algorithm}{Min-Cost-Max-Flow} +\begin{algorithm}{Maximum Weight Bipartite Matching} \begin{methods} - \method{mincostflow}{berechnet Fluss}{\abs{V}^2\cdot\abs{E}^2} + \method{match}{berechnet Matching}{\abs{V}^3} \end{methods} - \sourcecode{graph/minCostMaxFlow.cpp} + \sourcecode{graph/maxWeightBipartiteMatching.cpp} \end{algorithm} +\vfill* +\columnbreak + \begin{algorithm}[optional]{TSP} \begin{methods} @@ -261,3 +273,4 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \end{methods} \sourcecode{graph/bitonicTSPsimple.cpp} \end{algorithm} + diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index 8ccc55e..8a30b86 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -1,5 +1,12 @@ \section{Mathe} +\begin{algorithm}{Zykel Erkennung} + \begin{methods} + \method{cycleDetection}{findet Zyklus von $x_0$ und Länge in $f$}{b+l} + \end{methods} + \sourcecode{math/cycleDetection.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Longest Increasing Subsequence} \begin{itemize} \item \code{lower\_bound} $\Rightarrow$ streng monoton @@ -7,14 +14,6 @@ \end{itemize} \sourcecode{math/longestIncreasingSubsequence.cpp} \end{algorithm} -\columnbreak - -\begin{algorithm}{Zykel Erkennung} - \begin{methods} - \method{cycleDetection}{findet Zyklus von $x_0$ und Länge in $f$}{b+l} - \end{methods} - \sourcecode{math/cycleDetection.cpp} -\end{algorithm} \begin{algorithm}{Permutationen} \begin{methods} @@ -44,21 +43,20 @@ \begin{algorithm}{ggT, kgV, erweiterter euklidischer Algorithmus} \runtime{\log(a) + \log(b)} - \sourcecode{math/gcd-lcm.cpp} \sourcecode{math/extendedEuclid.cpp} \end{algorithm} -\subsection{Multiplikatives Inverses von $\boldsymbol{n}$ in $\boldsymbol{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$} -\textbf{Falls $\boldsymbol{p}$ prim:}\quad $x^{-1} \equiv x^{p-2} \bmod p$ +\subsection{Multiplikatives Inverses von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}$} +\textbf{Falls $\boldsymbol{m}$ prim:}\quad $x^{-1} \equiv x^{m-2} \bmod m$ -\textbf{Falls $\boldsymbol{\ggT(n, p) = 1}$:} +\textbf{Falls $\boldsymbol{\ggT(x, m) = 1}$:} \begin{itemize} \item Erweiterter euklidischer Algorithmus liefert $\alpha$ und $\beta$ mit - $\alpha n + \beta p = 1$. - \item Nach Kongruenz gilt $\alpha n + \beta p \equiv \alpha n \equiv 1 \bmod p$. - \item $n^{-1} :\equiv \alpha \bmod p$ + $\alpha x + \beta m = 1$. + \item Nach Kongruenz gilt $\alpha x + \beta m \equiv \alpha x \equiv 1 \bmod m$. + \item $x^{-1} :\equiv \alpha \bmod m$ \end{itemize} -\textbf{Sonst $\boldsymbol{\ggT(n, p) > 1}$:}\quad Es existiert kein $x^{-1}$. +\textbf{Sonst $\boldsymbol{\ggT(x, m) > 1}$:}\quad Es existiert kein $x^{-1}$. % \sourcecode{math/multInv.cpp} \sourcecode{math/shortModInv.cpp} @@ -121,19 +119,12 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/divisors.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{Primitivwurzeln} - \begin{itemize} - \item Primitivwurzel modulo $n$ existiert $\Leftrightarrow$ $n \in \{2,\ 4,\ p^\alpha,\ 2\cdot p^\alpha \mid\ 2 < p \in \mathbb{P},\ \alpha \in \mathbb{N}\}$ - \item es existiert entweder keine oder $\varphi(\varphi(n))$ inkongruente Primitivwurzeln - \item Sei $g$ Primitivwurzel modulo $n$. - Dann gilt:\newline - Das kleinste $k$, sodass $g^k \equiv 1 \bmod n$, ist $k = \varphi(n)$. - \end{itemize} - \begin{methods} - \method{isPrimitive}{prüft ob $g$ eine Primitivwurzel ist}{\log(\varphi(n))\*\log(n)} - \method{findPrimitive}{findet Primitivwurzel (oder -1)}{\abs{ans}\*\log(\varphi(n))\*\log(n)} - \end{methods} - \sourcecode{math/primitiveRoot.cpp} +\begin{algorithm}{Numerisch Extremstelle bestimmen} + \sourcecode{math/goldenSectionSearch.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Numerisch Integrieren, Simpsonregel} + \sourcecode{math/simpson.cpp} \end{algorithm} \begin{algorithm}{Diskreter Logarithmus} @@ -151,6 +142,22 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/discreteNthRoot.cpp} \end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Primitivwurzeln} + \begin{itemize} + \item Primitivwurzel modulo $n$ existiert $\Leftrightarrow$ $n \in \{2,\ 4,\ p^\alpha,\ 2\cdot p^\alpha \mid\ 2 < p \in \mathbb{P},\ \alpha \in \mathbb{N}\}$ + \item es existiert entweder keine oder $\varphi(\varphi(n))$ inkongruente Primitivwurzeln + \item Sei $g$ Primitivwurzel modulo $n$. + Dann gilt:\newline + Das kleinste $k$, sodass $g^k \equiv 1 \bmod n$, ist $k = \varphi(n)$. + \end{itemize} + \begin{methods} + \method{isPrimitive}{prüft ob $g$ eine Primitivwurzel ist}{\log(\varphi(n))\*\log(n)} + \method{findPrimitive}{findet Primitivwurzel (oder -1)}{\abs{ans}\*\log(\varphi(n))\*\log(n)} + \end{methods} + \sourcecode{math/primitiveRoot.cpp} +\end{algorithm} + \begin{algorithm}{Linearessieb und Multiplikative Funktionen} Eine (zahlentheoretische) Funktion $f$ heißt multiplikativ wenn $f(1)=1$ und $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$, falls $\ggT(a,b)=1$. @@ -185,7 +192,6 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \end{itemize} \end{algorithm} - \begin{algorithm}{Primzahlsieb von \textsc{Eratosthenes}} \begin{itemize} \item Bis $10^8$ in unter 64MB Speicher (lange Berechnung) @@ -216,33 +222,25 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: %\sourcecode{math/mobius.cpp} \end{algorithm} -%\columnbreak -%\subsection{\textsc{Euler}sche $\boldsymbol{\varphi}$-Funktion} -%\begin{itemize} -% \item Zählt die relativ primen Zahlen $\leq n$. -% -% \item Multiplikativ: -% $\gcd(a,b) = 1 \Longrightarrow \varphi(a) \cdot \varphi(b) = \varphi(ab)$ -% -% \item $p$ prim, $k \in \mathbb{N}$: -% $~\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$ -% -% \item \textbf{\textsc{Euler}'s Theorem:} -% Für $b \geq \varphi(c)$ gilt: $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \pmod{c}$. Darüber hinaus gilt: $\gcd(a, c) = 1 \Leftrightarrow a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c)} \pmod{c}$. -% Falls $m$ prim ist, liefert das den \textbf{kleinen Satz von \textsc{Fermat}}: -% $a^{m} \equiv a \pmod{m}$ -%\end{itemize} -%\sourcecode{math/phi.cpp} - - -\begin{algorithm}{Numerisch Extremstelle bestimmen} - \sourcecode{math/goldenSectionSearch.cpp} -\end{algorithm} - - -\begin{algorithm}{Numerisch Integrieren, Simpsonregel} - \sourcecode{math/simpson.cpp} -\end{algorithm} +\optional{ +\columnbreak +\subsection{\textsc{Euler}sche $\boldsymbol{\varphi}$-Funktion} +\begin{itemize} + \item Zählt die relativ primen Zahlen $\leq n$. + + \item Multiplikativ: + $\gcd(a,b) = 1 \Longrightarrow \varphi(a) \cdot \varphi(b) = \varphi(ab)$ + + \item $p$ prim, $k \in \mathbb{N}$: + $~\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$ + + \item \textbf{\textsc{Euler}'s Theorem:} + Für $b \geq \varphi(c)$ gilt: $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \pmod{c}$. Darüber hinaus gilt: $\gcd(a, c) = 1 \Leftrightarrow a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c)} \pmod{c}$. + Falls $m$ prim ist, liefert das den \textbf{kleinen Satz von \textsc{Fermat}}: + $a^{m} \equiv a \pmod{m}$ +\end{itemize} +\sourcecode{math/phi.cpp} +} \begin{algorithm}{Polynome, FFT, NTT \& andere Transformationen} Multipliziert Polynome $A$ und $B$. @@ -259,21 +257,53 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: %\textcolor{safeOrange}{$\blacksquare$} NTT code, %\textcolor{safeGreen}{$\blacksquare$} FFT code \sourcecode{math/transforms/fft.cpp} \sourcecode{math/transforms/ntt.cpp} + \vfill* + \columnbreak \sourcecode{math/transforms/bitwiseTransforms.cpp} Multiplikation mit 2 transforms statt 3: (nur benutzten wenn nötig!) \sourcecode{math/transforms/fftMul.cpp} \end{algorithm} -\subsection{LGS über $\boldsymbol{\mathbb{R}}$} -\method{gauss}{löst LGS}{n^3} -\sourcecode{math/gauss.cpp} +\begin{algorithm}{Operations on Formal Power Series} + \sourcecode{math/transforms/seriesOperations.cpp} +\end{algorithm} \subsection{LGS über $\boldsymbol{\mathbb{F}_p}$} \method{gauss}{löst LGS}{n^3} \sourcecode{math/lgsFp.cpp} -\clearpage +\subsection{LGS über $\boldsymbol{\mathbb{R}}$} +\method{gauss}{löst LGS}{n^3} +\sourcecode{math/gauss.cpp} + +\begin{algorithm}{\textsc{Legendre}-Symbol} + Sei $p \geq 3$ eine Primzahl, $a \in \mathbb{Z}$: + \begin{align*} + \legendre{a}{p} &= + \begin{cases*} + \hphantom{-}0 & falls $p~\vert~a$ \\[-1ex] + \hphantom{-}1 & falls $\exists x \in \mathbb{Z}\backslash p\mathbb{Z} : a \equiv x^2 \bmod p$ \\[-1ex] + -1 & sonst + \end{cases*} \\ + \legendre{-1}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2}} &= + \begin{cases*} + \hphantom{-}1 & falls $p \equiv 1 \bmod 4$ \\[-1ex] + -1 & falls $p \equiv 3 \bmod 4$ + \end{cases*} \\ + \legendre{2}{p} = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}} &= + \begin{cases*} + \hphantom{-}1 & falls $p \equiv \pm 1 \bmod 8$ \\[-1ex] + -1 & falls $p \equiv \pm 3 \bmod 8$ + \end{cases*} + \end{align*} + \begin{align*} + \legendre{p}{q} \cdot \legendre{q}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2}} && + \legendre{a}{p} \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\bmod p + \end{align*} + \sourcecode{math/legendre.cpp} +\end{algorithm} +\optional{ \subsection{Primzahlzählfunktion $\boldsymbol{\pi}$} \begin{methods} \method{init}{berechnet $\pi$ bis $N$}{N\*\log(\log(N))} @@ -281,6 +311,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \method{pi}{zählt Primzahlen $\leq n$ ($n < N^2$)}{n^{2/3}} \end{methods} \sourcecode{math/piLehmer.cpp} +} \begin{algorithm}{Lineare-Recurenz} \begin{methods} @@ -331,33 +362,6 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/matrixPower.cpp} \end{algorithm} -\begin{algorithm}{\textsc{Legendre}-Symbol} - Sei $p \geq 3$ eine Primzahl, $a \in \mathbb{Z}$: - \begin{align*} - \legendre{a}{p} &= - \begin{cases*} - \hphantom{-}0 & falls $p~\vert~a$ \\[-1ex] - \hphantom{-}1 & falls $\exists x \in \mathbb{Z}\backslash p\mathbb{Z} : a \equiv x^2 \bmod p$ \\[-1ex] - -1 & sonst - \end{cases*} \\ - \legendre{-1}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2}} &= - \begin{cases*} - \hphantom{-}1 & falls $p \equiv 1 \bmod 4$ \\[-1ex] - -1 & falls $p \equiv 3 \bmod 4$ - \end{cases*} \\ - \legendre{2}{p} = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}} &= - \begin{cases*} - \hphantom{-}1 & falls $p \equiv \pm 1 \bmod 8$ \\[-1ex] - -1 & falls $p \equiv \pm 3 \bmod 8$ - \end{cases*} - \end{align*} - \begin{align*} - \legendre{p}{q} \cdot \legendre{q}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2}} && - \legendre{a}{p} \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\bmod p - \end{align*} - \sourcecode{math/legendre.cpp} -\end{algorithm} - \begin{algorithm}{Inversionszahl} \sourcecode{math/inversions.cpp} \end{algorithm} @@ -411,14 +415,13 @@ so gilt \end{methods} \sourcecode{math/binomial0.cpp} Falls $n >= p$ for $\mathit{mod}=p^k$ berechne \textit{fac} und \textit{inv} aber teile $p$ aus $i$ und berechne die häufigkeit von $p$ in $n!$ als $\sum\limits_{i=1}\big\lfloor\frac{n}{p^i}\big\rfloor$ -\columnbreak - - \begin{methods} + + \begin{methods} \method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient $(n \le 61)$}{k} \end{methods} \sourcecode{math/binomial1.cpp} - - \begin{methods} + + \begin{methods} \method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient modulo Primzahl $p$}{p-n} \end{methods} \sourcecode{math/binomial3.cpp} diff --git a/string/string.tex b/string/string.tex index 526faa2..393c2ad 100644 --- a/string/string.tex +++ b/string/string.tex @@ -47,6 +47,7 @@ \sourcecode{string/longestCommonSubsequence.cpp} \end{algorithm} +\columnbreak \begin{algorithm}{\textsc{Aho-Corasick}-Automat} \begin{methods}[ll] sucht patterns im Text & \runtime{\abs{Text}+\sum\abs{pattern}} diff --git a/tcr.pdf b/tcr.pdf index e7330c0..6342868 100644 Binary files a/tcr.pdf and b/tcr.pdf differ diff --git a/tcr.tex b/tcr.tex index 445f8b6..bfc73d1 100644 --- a/tcr.tex +++ b/tcr.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \documentclass[a4paper,fontsize=7.8pt]{scrartcl} % General information. -\newcommand{\teamname}{Let's party!} +\newcommand{\teamname}{Kindergarten Timelimit} \newcommand{\university}{Karlsruhe Institute of Technology} % Options @@ -36,6 +36,7 @@ \tableofcontents \end{multicols*} } + \newpage % Content. -- cgit v1.2.3