From 7745699586b6aea4912f697e0c3e176992657e0d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Paul Jungeblut <paul.jungeblut@gmail.com>
Date: Sun, 13 Nov 2016 23:47:17 +0100
Subject: Adding table about several different nim games.

---
 math/math.tex | 250 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 174 insertions(+), 76 deletions(-)

(limited to 'math/math.tex')

diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex
index fce4860..074daae 100644
--- a/math/math.tex
+++ b/math/math.tex
@@ -268,37 +268,6 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale
 \end{tabular}
 \vspace{5mm}
 
-\begin{tabular}{l|l|l}
-	\toprule
-	\multicolumn{3}{c}{Reihen} \\
-	\midrule
-	$\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ &
-	$\sum\limits_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ & 
-	$\sum\limits_{i = 1}^n i^3 = \frac{n^2 (n + 1)^2}{4}$ \\
-
-	$\sum\limits_{i = 0}^n c^i = \frac{c^{n + 1} - 1}{c - 1} \quad c \neq 1$ &
-	$\sum\limits_{i = 0}^\infty c^i = \frac{1}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ &
-	$\sum\limits_{i = 1}^\infty c^i = \frac{c}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ \\
-
-	\multicolumn{2}{l|}{
-		$\sum\limits_{i = 0}^n ic^i = \frac{nc^{n + 2} - (n + 1)c^{n + 1} + c}{(c - 1)^2} \quad c \neq 1$
-	} &
-	$\sum\limits_{i = 0}^\infty ic^i = \frac{c}{(1 - c)^2} \quad \vert c \vert < 1$ \\
-
-	$H_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{i}$ &
-	\multicolumn{2}{l}{
-		$\sum\limits_{i = 1}^n iH_i = \frac{n(n + 1)}{2}H_n - \frac{n(n - 1)}{4}$
-	} \\
-
-	$\sum\limits_{i = 1}^n H_i = (n + 1)H_n - n$ &
-	\multicolumn{2}{l}{
-		$\sum\limits_{i = 1}^n \binom{i}{m}H_i =
-		\binom{n + 1}{m + 1} \left(H_{n + 1} - \frac{1}{m  + 1}\right)$
-	} \\
-	\bottomrule
-\end{tabular}
-\vspace{5mm}
-
 \begin{tabular}{c|cccc}
 	\toprule
 	\multicolumn{5}{c}{The Twelvefold Way (verteile $n$ Bälle auf $k$ Boxen)} \\
@@ -335,7 +304,50 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale
 	} \\
 	\bottomrule
 \end{tabular}
-\vspace{5mm}
+\vspace{1mm}
+
+\begin{flushleft}
+	\begin{tabular}{l|cccl}
+		\toprule
+		\multicolumn{5}{c}{Platonische Körper} \\
+		\midrule
+		Übersicht       & Seiten & Ecken & Kanten & dual zu \\
+		\midrule
+		Tetraeder       & 4      & 4     & 6      & Tetraeder \\
+		Würfel/Hexaeder & 6      & 8     & 12     & Oktaeder \\
+		Oktaeder        & 8      & 6     & 12     & Würfel/Hexaeder\\
+		Dodekaeder      & 12     & 20    & 30     & Ikosaeder \\
+		Ikosaeder       & 20     & 12    & 30     & Dodekaeder \\
+		\midrule
+		\multicolumn{5}{c}{Färbungen mit maximal $n$ Farben (bis auf Isomorphie)} \\
+		\midrule
+		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Oktaeder/Seiten vom Würfel} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^6 + 3n^4 + 12n^3 + 8n^2)/24$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Würfel/Seiten vom Oktaeder} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^8 + 17n^4 + 6n^2)/24$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Kanten vom Würfel/Oktaeder} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^{12} + 6n^7 + 3n^6 + 8n^4 + 6n^3)/24$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Ecken/Seiten vom Tetraeder} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^4 + 11n^2)/12$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Kanten vom Tetraeder} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^6 + 3n^4 + 8n^2)/12$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Ikosaeder/Seiten vom Dodekaeder} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^{12} + 15n^6 + 44n^4)/60$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Dodekaeder/Seiten vom Ikosaeder} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^{20} + 15n^{10} + 20n^8 + 24n^4)/60$} \\
+
+		\multicolumn{3}{l}{Kanten vom Dodekaeder/Ikosaeder (evtl. falsch)} &
+		\multicolumn{2}{l}{$(n^{30} + 15n^{16} + 20n^{10} + 24n^6)/60$} \\
+		\bottomrule
+	\end{tabular}
+\end{flushleft}
+\vspace{1mm}
 
 \begin{tabular}{l|r}
 	\toprule
@@ -353,7 +365,7 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale
 	$\Pr[A \land B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B]$ \\
 	\bottomrule
 \end{tabular}
-\vspace{5mm}
+\vspace{1mm}
 
 \begin{tabular}{lr|lr}
 	\toprule
@@ -368,6 +380,135 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale
 \end{tabular}
 \vspace{5mm}
 
+\begin{tabular}{p{4.3cm}|p{7cm}}
+	\toprule
+	\multicolumn{2}{c}{Nim-Spiele (\ding{182} letzter gewinnt (normal), \ding{183} letzter verliert)} \\
+	\midrule
+	Beschreibung &
+	Strategie \\
+	\midrule
+
+	$M = [\mathit{pile}_i]$\newline
+	$[x] := \{1, \ldots, x\}$&
+	$\mathit{SG} = \oplus_{i = 1}^n \mathit{pile}_i$\newline
+	\ding{182} Nimm von einem Stapel, sodass $\mathit{SG}$ $0$ wird.\newline
+	\ding{183} Genauso.
+	Außer: Bleiben nur noch Stapel der Größe $1$, erzeuge ungerade Anzahl solcher Stapel.\\
+	\midrule
+
+	$M = \{a^m \mid m \geq 0\}$ &
+	$a$ ungerade: $\mathit{SG}_n = n \% 2$\newline
+	$a$ gerade:\newline
+	$\mathit{SG}_n = 2$, falls $n \equiv a \mod (a + 1) $\newline
+	$\mathit{SG}_n = n \% (a + 1) \% 2$, sonst.\\
+	\midrule
+
+	$M_{\text{\ding{172}}} = \left[\frac{\mathit{pile}_i}{2}\right]$\newline
+	$M_{\text{\ding{173}}} =
+	\left\{\left\lceil\frac{\mathit{pile}_i}{2}\right\rceil,
+	\mathit{pile}_i\right\}$ &
+	\ding{172}
+	$\mathit{SG}_{2n} = n$,
+	$\mathit{SG}_{2n+1} = \mathit{SG}_n$\newline
+	\ding{173}
+	$\mathit{SG}_0 = 0$,
+	$\mathit{SG}_n = [\log_2 n] + 1$ \\
+	\midrule
+
+	$M_{\text{\ding{172}}} = \text{Teiler von $\mathit{pile}_i$}$\newline
+	$M_{\text{\ding{173}}} = \text{echte Teiler von $\mathit{pile}_i$}$ &
+	\ding{172}
+	$\mathit{SG}_0 = 0$,
+	$\mathit{SG}_n = \mathit{SG}_{\text{\ding{173},n}} + 1$\newline
+	\ding{173}
+	$\mathit{ST}_1 = 0$,
+	$\mathit{SG}_n = \text{\#Nullen am Ende von $n_{bin}$}$\\
+	\midrule
+
+	$M_{\text{\ding{172}}} = [k]$\newline
+	$M_{\text{\ding{173}}} = S$, ($S$ endlich)\newline
+	$M_{\text{\ding{174}}} = S \cup \{\mathit{pile}_i\}$ &
+	$\mathit{SG}_{\text{\ding{172}}, n} = n \mod (k + 1)$\newline
+	\ding{182} Niederlage bei $\mathit{SG} = 0$\newline
+	\ding{183} Niederlage bei $\mathit{SG} = 1$\newline
+	$\mathit{SG}_{\text{\ding{174}}, n} = \mathit{SG}_{\text{\ding{173}}, n} + 1$\\
+	\midrule
+
+	\multicolumn{2}{l}{
+		Für jedes endliche $M$ ist $\mathit{SG}$ eines Stapels irgendwann periodisch.
+	} \\
+	\midrule
+
+	\textsc{Moore}'s Nim:\newline
+	Beliebige Zahl von maximal $k$ Stapeln. &
+	\ding{182}
+	Schreibe $\mathit{pile}_i$ binär.
+	Addiere ohne Übertrag zur Basis $k + 1$.
+	Niederlage, falls Ergebnis gleich 0.\newline
+	\ding{183}
+	Wenn alle Stapel $1$ sind:
+	Niederlage, wenn $n \equiv 1 \mod (k + 1)$.
+	Sonst wie in \ding{182}.\\
+	\midrule
+
+	Staircase Nim:\newline
+	$n$ Stapel in einer Reihe.
+	Beliebige Zahl von Stapel $i$ nach Stapel $i-1$. &
+	Niederlage, wenn Nim der ungeraden Spiele verloren ist:\newline
+	$\oplus_{i = 0}^{(n - 1) / 2} \mathit{pile}_{2i + 1} = 0$\\
+	\midrule
+
+	\textsc{Lasker}'s Nim:\newline
+	Zwei mögliche Züge:\newline
+	1) Nehme beliebige Zahl.\newline
+	2) Teile Stapel in zwei Stapel (ohne Entnahme).&
+	$\mathit{SG}_n = n$, falls $n \equiv 1,2 \mod 4$\newline
+	$\mathit{SG}_n = n + 1$, falls $n \equiv 3 \mod 4$\newline
+	$\mathit{SG}_n = n - 1$, falls $n \equiv 0 \mod 4$\\
+	\midrule
+
+	\textsc{Kayles}' Nim:\newline
+	Zwei mögliche Züge:\newline
+	1) Nehme beliebige Zahl.\newline
+	2) Teile Stapel in zwei Stapel (mit Entnahme).&
+	Berechne $\mathit{SG}_n$ für kleine $n$ rekursiv.\newline
+	$n \in [72,83]: \quad 4, 1, 2, 8, 1, 4, 7, 2, 1, 8, 2, 7$\newline
+	Periode ab $n = 72$ der Länge $12$.\\
+	\bottomrule
+\end{tabular}
+\vspace{5mm}
+
+\begin{tabular}{l|l|l}
+	\toprule
+	\multicolumn{3}{c}{Reihen} \\
+	\midrule
+	$\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ &
+	$\sum\limits_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ & 
+	$\sum\limits_{i = 1}^n i^3 = \frac{n^2 (n + 1)^2}{4}$ \\
+
+	$\sum\limits_{i = 0}^n c^i = \frac{c^{n + 1} - 1}{c - 1} \quad c \neq 1$ &
+	$\sum\limits_{i = 0}^\infty c^i = \frac{1}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ &
+	$\sum\limits_{i = 1}^\infty c^i = \frac{c}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ \\
+
+	\multicolumn{2}{l|}{
+		$\sum\limits_{i = 0}^n ic^i = \frac{nc^{n + 2} - (n + 1)c^{n + 1} + c}{(c - 1)^2} \quad c \neq 1$
+	} &
+	$\sum\limits_{i = 0}^\infty ic^i = \frac{c}{(1 - c)^2} \quad \vert c \vert < 1$ \\
+
+	$H_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{i}$ &
+	\multicolumn{2}{l}{
+		$\sum\limits_{i = 1}^n iH_i = \frac{n(n + 1)}{2}H_n - \frac{n(n - 1)}{4}$
+	} \\
+
+	$\sum\limits_{i = 1}^n H_i = (n + 1)H_n - n$ &
+	\multicolumn{2}{l}{
+		$\sum\limits_{i = 1}^n \binom{i}{m}H_i =
+		\binom{n + 1}{m + 1} \left(H_{n + 1} - \frac{1}{m  + 1}\right)$
+	} \\
+	\bottomrule
+\end{tabular}
+\vspace{5mm}
+
 \begin{tabular}{ll}
 	\toprule
 	\multicolumn{2}{c}{Verschiedenes} \\
@@ -391,49 +532,6 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale
 	$\frac{k}{n}\binom{n}{k}n^{n-k}$ \\
 	\bottomrule
 \end{tabular}
-\vspace{5mm}
-
-\begin{flushleft}
-	\begin{tabular}{l|cccl}
-		\toprule
-		\multicolumn{5}{c}{Platonische Körper} \\
-		\midrule
-		Übersicht       & Seiten & Ecken & Kanten & dual zu \\
-		\midrule
-		Tetraeder       & 4      & 4     & 6      & Tetraeder \\
-		Würfel/Hexaeder & 6      & 8     & 12     & Oktaeder \\
-		Oktaeder        & 8      & 6     & 12     & Würfel/Hexaeder\\
-		Dodekaeder      & 12     & 20    & 30     & Ikosaeder \\
-		Ikosaeder       & 20     & 12    & 30     & Dodekaeder \\
-		\midrule
-		\multicolumn{5}{c}{Färbungen mit maximal $n$ Farben (bis auf Isomorphie)} \\
-		\midrule
-		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Oktaeder/Seiten vom Würfel} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^6 + 3n^4 + 12n^3 + 8n^2)/24$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Würfel/Seiten vom Oktaeder} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^8 + 17n^4 + 6n^2)/24$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Kanten vom Würfel/Oktaeder} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^{12} + 6n^7 + 3n^6 + 8n^4 + 6n^3)/24$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Ecken/Seiten vom Tetraeder} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^4 + 11n^2)/12$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Kanten vom Tetraeder} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^6 + 3n^4 + 8n^2)/12$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Ikosaeder/Seiten vom Dodekaeder} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^{12} + 15n^6 + 44n^4)/60$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Ecken vom Dodekaeder/Seiten vom Ikosaeder} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^{20} + 15n^{10} + 20n^8 + 24n^4)/60$} \\
-
-		\multicolumn{3}{l}{Kanten vom Dodekaeder/Ikosaeder (evtl. falsch)} &
-		\multicolumn{2}{l}{$(n^{30} + 15n^{16} + 20n^{10} + 24n^6)/60$} \\
-		\bottomrule
-	\end{tabular}
-\end{flushleft}
 
 \subsection{Big Integers}
 \lstinputlisting{math/bigint.cpp}
-- 
cgit v1.2.3

