From 6c52da34e58b900b574b4a420f41dae44700b7b8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Paul Jungeblut <s_jungeb@i08pc54.atis-stud.uni-karlsruhe.de>
Date: Tue, 25 Nov 2014 17:08:30 +0100
Subject: mehr Kombinatorik

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index 8300ee4..1f1d542 100644
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+++ b/math/math.tex
@@ -39,6 +39,7 @@ Weise jedem Zustand $X$ wie folgt eine \textsc{Grundy}-Zahl $g\left(X\right)$ zu
 \]
 $X$ ist genau dann gewonnen, wenn $g\left(X\right) > 0$ ist.\\\\
 Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \textsc{Grundy}-Zahl des Gesamtzustandes $g\left(X_1\right) \oplus \ldots \oplus g\left(X_k\right)$.
+\lstinputlisting{math/nimm.cpp}
 
 \subsection{Maximales Teilfeld}
 \lstinputlisting{math/maxTeilfeld.cpp}
@@ -52,12 +53,17 @@ Obiger Code findet kein maximales Teilfeld, das über das Ende hinausgeht. Dazu:
 \subsection{Kombinatorik}
 
 \subsubsection{Berühmte Zahlen}
+\begin{small}
 \begin{tabular}{|l|l|l|}
 	\hline
-	\textsc{Fibonacci}	& $f(0) = 0 \quad f(1) = 1 \quad f(n+2) = f(n+1) + f(n)$	& siehe Bemerkungen \ref{bem:fibonacciMat}, \ref{bem:fibonacciGreedy}\\
-	\textsc{Catalan}	& $C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} = \frac{1}{n + 1}{2n \choose n} = \frac{2(2n - 1)}{n+1} \cdot C_{n-1}$	& siehe Bemerkungen \ref{bem:catalanOverflow}, \ref{bem:catalanAnwendung}\\
+	\textsc{Fibonacci}-Zahlen	& $f(0) = 0 \quad f(1) = 1 \quad f(n+2) = f(n+1) + f(n)$	& Bem. \ref{bem:fibonacciMat}, \ref{bem:fibonacciGreedy}\\
+	\textsc{Catalan}-Zahlen		& $C_0 = 1 \quad C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} = \frac{1}{n + 1}{2n \choose n} = \frac{2(2n - 1)}{n+1} \cdot C_{n-1}$	& Bem. \ref{bem:catalanOverflow}, \ref{bem:catalanAnwendung}\\
+	\textsc{Euler}-Zahlen (I)	& $\left\langle\begin{array}{c} n \\ 0\end{array}\right\rangle = \left\langle\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right\rangle = 1 \quad \left\langle\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right\rangle = (k + 1)\left\langle\begin{array}{c} n-1 \\ k\end{array}\right\rangle + (n-k)\left\langle\begin{array}{c} n-1 \\ k-1\end{array}\right\rangle$ & Bem. \ref{bem:euler1Intuition}\\
+	\textsc{Euler}-Zahlen (II)	& $\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right\rangle\right\rangle = 1 \quad \left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right\rangle\right\rangle = 0 \quad \left\langle\left\langle\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right\rangle\right\rangle = (k + 1)\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right\rangle\right\rangle + (2n - k - 1)\left\langle\left\langle\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right\rangle\right\rangle$ & Bem. \ref{bem:euler2Intuition}\\
+	\textsc{Stirling}-Zahlen (I)	& $\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right] = 1 \quad \left[\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\n\end{array}\right] = 0 \quad \left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right] + (n-1)\left[\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right]$ & Bem. \ref{bem:stirling1}\\
 	\hline
 \end{tabular}
+\end{small}
 
 \begin{bem}\label{bem:fibonacciMat}
 $\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)^n \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}f_n \\ f_{n+1}\end{array}\right)$
@@ -87,6 +93,16 @@ Die \textsc{Catalan}-Zahlen geben an: $C_n =$
 \end{itemize}
 \end{bem}
 
+\begin{bem}[\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung]\label{bem:euler1Intuition}
+Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Anstiegen.
+
+Die Formel folgt aus folgender Überlegung: Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen. Dabei wird entweder ein Ansteig in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergänzt.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung]\label{bem:euler2Intuition}
+Die Anzahl der Permutationen von $\{1,1, \ldots, n,n\}$ mit genau $k$ Anstiegen.
+\end{bem}
+
 \subsubsection{Verschiedenes}
 \begin{tabular}{|l|l|}
 	\hline
-- 
cgit v1.2.3

