From 606f638f580d815503ee685f75ee4ab22a71fe60 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: mzuenni <michi.zuendorf@gmail.com>
Date: Sat, 16 Aug 2025 15:47:01 +0200
Subject: added mini oeis

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 content/math/math.tex | 33 ++++++++++++++++++++++++---------
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index 993af13..cb352f4 100644
--- a/content/math/math.tex
+++ b/content/math/math.tex
@@ -402,7 +402,8 @@ so gilt
 %	\sourcecode{math/binomial2.cpp}
 %\end{algorithm}
 
-\paragraph{\textsc{Catalan}-Zahlen}
+\paragraph{\textsc{Catalan}-Zahlen:}
+$1,~1,~2,~5,~14,~42,~132,~429,~1430,~4862,~16796,~58786,~208012,~742900$
 \begin{itemize}
 	\item Die \textsc{Catalan}-Zahl $C_n$ gibt an:
 	\begin{itemize}
@@ -423,12 +424,14 @@ so gilt
 
 \paragraph{\textsc{Catalan}-Convolution}
 \begin{itemize}
-	\item Anzahl an Klammerausdrücken mit $n+k$ Klammerpaaren, die mit $(^k$ beginnen.
+	\item Anzahl an Klammerausdrücken mit $n+k$ Klammerpaaren, die mit $\texttt{(}^k$ beginnen.
 \end{itemize}
 \[C^k_0 = 1\qquad C^k_n = \sum\limits_{\mathclap{a_0+a_1+\dots+a_k=n}} C_{a_0}C_{a_1}\cdots C_{a_k} =
 \frac{k+1}{n+k+1}\binom{2n+k}{n} = \frac{(2n+k-1)\cdot(2n+k)}{n(n+k+1)} \cdot C_{n-1}\]
 
-\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung:}
+$|~1~|~1~|~1,~1~|~1,~4,~1~|~1,~11,~11,~1~|~1,~26,~66,~26,~1~|$
+
 Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Anstiegen.
 Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen.
 Dabei wird entweder ein Anstieg in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergänzt.
@@ -440,14 +443,18 @@ Dabei wird entweder ein Anstieg in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergä
 	\item Formel $2$ erlaubt Berechnung in \runtime{n\log(n)}
 \end{itemize}
 
-\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung:}
+$|~1~|~1,~0~|~1,~2,~0~|~1,~8,~6,~0~|~1,~22,~58,~24,~0~|$
+
 Die Anzahl der Permutationen von $\{1,1, \ldots, n,n\}$ mit genau $k$ Anstiegen.
 \[\eulerII{n}{0} = 1 \qquad\eulerII{n}{n} = 0 \qquad\eulerII{n}{k} = (k+1) \eulerII{n-1}{k} + (2n-k-1) \eulerII{n-1}{k-1}\]
 \begin{itemize}
 	\item Formel erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2}
 \end{itemize}
 
-\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Ordnung:}
+$|~1~|~0,~1~|~0,~1,~1~|~0,~2,~3,~1~|~0,~6,~11,~6,~1~|$
+
 Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Zyklen.
 Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eigene Zyklus, oder sie kann an jeder Position in jedem Zyklus einsortiert werden.
 \[\stirlingI{0}{0} = 1 \qquad
@@ -458,14 +465,17 @@ Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eige
 \end{itemize}
 \[\sum_{k=0}^{n}\pm\stirlingI{n}{k}x^k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\]
 \begin{itemize}
-	\item Berechne Polynom mit FFT und benutzte betrag der Koeffizienten \runtime{n\log(n)^2} (nur ungefähr gleich große Polynome zusammen multiplizieren beginnend mit $x-k$)
+	\item Berechne Polynom mit FFT und benutzte betrag der Koeffizienten \runtime{n\log(n)^2} (nur ca. gleich große Polynome zusammen multiplizieren beginnend mit $x-k$)
 \end{itemize}
 
-\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung:}
+$|~1~|~0,~1~|~0,~1,~1~|~0,~1,~3,~1~|~0,~1,~7,~6,~1~|$
+
 Die Anzahl der Möglichkeiten $n$ Elemente in $k$ nichtleere Teilmengen zu zerlegen.
 Es gibt $k$ Möglichkeiten die $n$ in eine $n-1$-Partition einzuordnen.
 Dazu kommt der Fall, dass die $n$ in ihrer eigenen Teilmenge (alleine) steht.
 \[\stirlingII{n}{1} = \stirlingII{n}{n} = 1 \qquad
+\stirlingII{n}{0} = 0 \qquad
 \stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1} =
 \frac{1}{k!} \sum\limits_{i=0}^{k} (-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n\]
 \begin{itemize}
@@ -473,14 +483,18 @@ Dazu kommt der Fall, dass die $n$ in ihrer eigenen Teilmenge (alleine) steht.
 	\item Formel $2$ erlaubt Berechnung in \runtime{n\log(n)}
 \end{itemize}
 
-\paragraph{\textsc{Bell}-Zahlen}
+\paragraph{\textsc{Bell}-Zahlen:}
+$1,~1,~2,~5,~15,~52,~203,~877,~4140,~21147,~115975,~678570,~4213597$
+
 Anzahl der Partitionen von $\{1, \ldots, n\}$.
 Wie \textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung ohne Limit durch $k$.
 \[B_0 = 1 \qquad
 B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} B_k\binom{n-1}{k}
 = \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k}\qquad\qquad B_{p^m+n}\equiv m\cdot B_n + B_{n+1} \bmod{p}\]
 
-\paragraph{Partitions}
+\paragraph{Partitions:}
+$|~1~|~0,~1~|~0,~1,~1~|~0,~1,~1,~1~|~0,~1,~2,~1,~1~|~0,~1,~2,~2,~1,~1~|~0,~1,~3,~3,~2,~1,~1~|$
+
 Die Anzahl der Partitionen von $n$ in genau $k$ positive Summanden.
 Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$.
 \begin{align*}
@@ -489,6 +503,7 @@ Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$.
 	p(n)=\sum_{k=1}^{n} p_k(n)&=p_n(2n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\bigg[p\bigg(n - \frac{k(3k-1)}{2}\bigg) + p\bigg(n - \frac{k(3k+1)}{2}\bigg)\bigg]
 \end{align*}
 \begin{itemize}
+	\item $p(n)$: $1,~1,~2,~3,~5,~7,~11,~15,~22,~30,~42,~56,~77,~101,~135,~176,~231,~297,~385,~490,~627,~792$
 	\item in Formel $3$ kann abgebrochen werden wenn $\frac{k(3k-1)}{2} > n$.
 	\item Die Anzahl der Partitionen von $n$ in bis zu $k$ positive Summanden ist $\sum\limits_{i=0}^{k}p_i(n)=p_k(n+k)$.
 \end{itemize}
-- 
cgit v1.2.3

