From 0e056565c55cee6d0db48eabe8cf5a0f8fa2bca9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Gloria Mundi <gloria@gloria-mundi.eu>
Date: Thu, 29 May 2025 03:18:44 +0200
Subject: combinatorics: add some generating functions, remove (incorrect) 2nd
 order Eulerian numbers

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@@ -427,7 +427,7 @@ so gilt
 	\end{itemize}
 \end{itemize}
 \[C_0 = 1\qquad C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} =
-\frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n} = \frac{4n - 2}{n+1} \cdot C_{n-1}\]
+\frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n} = \frac{4n - 2}{n+1} C_{n-1} \sim \frac{4^n}{n^{3/2} \sqrt{\pi}}\]
 \begin{itemize}
 	\item Formel $1$ erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2}
 	\item Formel $2$ und $3$ erlauben Berechnung in \runtime{n}
@@ -438,70 +438,70 @@ so gilt
 	\item Anzahl an Klammerausdrücken mit $n+k$ Klammerpaaren, die mit $(^k$ beginnen.
 \end{itemize}
 \[C^k_0 = 1\qquad C^k_n = \sum\limits_{\mathclap{a_0+a_1+\dots+a_k=n}} C_{a_0}C_{a_1}\cdots C_{a_k} =
-\frac{k+1}{n+k+1}\binom{2n+k}{n} = \frac{(2n+k-1)\cdot(2n+k)}{n(n+k+1)} \cdot C_{n-1}\]
+\frac{k+1}{n+k+1}\binom{2n+k}{n} = \frac{(2n+k-1)(2n+k)}{n(n+k+1)} C_{n-1}\]
 
-\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen}
 Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Anstiegen.
 Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen.
 Dabei wird entweder ein Anstieg in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergänzt.
 \[\eulerI{n}{0} = \eulerI{n}{n-1} = 1 \quad
-\eulerI{n}{k} = (k+1) \eulerI{n-1}{k} + (n-k) \eulerI{n-1}{k-1}=
-\sum_{i=0}^{k} (-1)^i\binom{n+1}{i}(k+1-i)^n\]
-\begin{itemize}
-	\item Formel $1$ erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2}
-	\item Formel $2$ erlaubt Berechnung in \runtime{n\log(n)}
-\end{itemize}
-
-\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung}
-Die Anzahl der Permutationen von $\{1,1, \ldots, n,n\}$ mit genau $k$ Anstiegen.
-\[\eulerII{n}{0} = 1 \qquad\eulerII{n}{n} = 0 \qquad\eulerII{n}{k} = (k+1) \eulerII{n-1}{k} + (2n-k-1) \eulerII{n-1}{k-1}\]
-\begin{itemize}
-	\item Formel erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2}
-\end{itemize}
+\eulerI{n}{k} = (k+1) \eulerI{n-1}{k} + (n-k) \eulerI{n-1}{k-1}\]
+\[
+\eulerI{n}{k} = [x^k]
+	\left(\sum_{i=0}^\infty (i+1)^n x^i\right)
+	\left(\sum_{i=0}^\infty (-1)^i \binom{n+1}{i} x^i\right)
+\]
 
-\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Art}
 Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Zyklen.
-Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eigene Zyklus, oder sie kann an jeder Position in jedem Zyklus einsortiert werden.
+Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eigenen Zyklus, oder sie kann an jeder Position in jedem Zyklus einsortiert werden.
 \[\stirlingI{0}{0} = 1 \qquad
 \stirlingI{n}{0} = \stirlingI{0}{n} = 0 \qquad
 \stirlingI{n}{k} = \stirlingI{n-1}{k-1} + (n-1) \stirlingI{n-1}{k}\]
-\begin{itemize}
-	\item Formel erlaubt berechnung ohne Division in \runtime{n^2}
-\end{itemize}
-\[\sum_{k=0}^{n}\pm\stirlingI{n}{k}x^k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\]
-\begin{itemize}
-	\item Berechne Polynom mit FFT und benutzte betrag der Koeffizienten \runtime{n\log(n)^2} (nur ungefähr gleich große Polynome zusammen multiplizieren beginnend mit $x-k$)
-\end{itemize}
+\[
+\stirlingI{n}{k}
+= [x^k]\prod_{i=0}^{n-1} (x+i)
+= n! [x^{n-k}] \frac{1}{k!} \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i+1}x^i\right)^k
+\]
 
-\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung}
+\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Art}
 Die Anzahl der Möglichkeiten $n$ Elemente in $k$ nichtleere Teilmengen zu zerlegen.
 Es gibt $k$ Möglichkeiten die $n$ in eine $n-1$-Partition einzuordnen.
 Dazu kommt der Fall, dass die $n$ in ihrer eigenen Teilmenge (alleine) steht.
 \[\stirlingII{n}{1} = \stirlingII{n}{n} = 1 \qquad
-\stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1} =
-\frac{1}{k!} \sum\limits_{i=0}^{k} (-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n\]
-\begin{itemize}
-	\item Formel $1$ erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2}
-	\item Formel $2$ erlaubt Berechnung in \runtime{n\log(n)}
-\end{itemize}
+\stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1}
+\]
+\[
+\stirlingII{n}{k}
+= [x^k]
+	\left(\sum_{i=0}^\infty \frac{i^n}{i!}x^i\right)
+	\left(\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!}x^i\right)
+= n! [x^{n-k}] \frac{1}{k!} \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(i+1)!}x^i\right)^k
+\]
 
 \paragraph{\textsc{Bell}-Zahlen}
 Anzahl der Partitionen von $\{1, \ldots, n\}$.
-Wie \textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung ohne Limit durch $k$.
+Wie \textsc{Stirling}-Zahlen 2. Art ohne Limit durch $k$.
 \[B_1 = 1 \qquad
 B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} B_k\binom{n-1}{k}
-= \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k}\qquad\qquad B_{p^m+n}\equiv m\cdot B_n + B_{n+1} \bmod{p}\]
+= \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k}
+= n! [x^n] e^{e^x-1}
+\qquad
+B_{p^m+n}\equiv m\cdot B_n + B_{n+1} \bmod{p}\]
 
 \paragraph{Partitions}
 Die Anzahl der Partitionen von $n$ in genau $k$ positive Summanden.
 Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$.
 \begin{align*}
 	p_0(0)=1 \qquad p_k(n)&=0 \text{ für } k > n \text{ oder } n \leq 0 \text{ oder } k \leq 0\\
-	p_k(n)&= p_k(n-k) + p_{k-1}(n-1)\\[2pt]
-	p(n)=\sum_{k=1}^{n} p_k(n)&=p_n(2n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\bigg[p\bigg(n - \frac{k(3k-1)}{2}\bigg) + p\bigg(n - \frac{k(3k+1)}{2}\bigg)\bigg]
+	p_k(n)&= p_k(n-k) + p_{k-1}(n-1)\\
+	p(n)=\sum_{k=1}^{n} p_k(n)&=p_n(2n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\bigg[p\bigg(n - \frac{k(3k-1)}{2}\bigg) + p\bigg(n - \frac{k(3k+1)}{2}\bigg)\bigg] \\
+	p(n)&=[x^n] \left(\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k x^{k(3k-1)/2}\right)^{-1}
+	  \sim \frac{1}{4 \sqrt{3} n} \exp\left(\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}\right)
 \end{align*}
 \begin{itemize}
 	\item in Formel $3$ kann abgebrochen werden wenn $\frac{k(3k-1)}{2} > n$.
+		$\rightarrow$ \runtime{n \sqrt{n}}
 	\item Die Anzahl der Partitionen von $n$ in bis zu $k$ positive Summanden ist $\sum\limits_{i=0}^{k}p_i(n)=p_k(n+k)$.
 \end{itemize}
 
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