From 0e056565c55cee6d0db48eabe8cf5a0f8fa2bca9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Gloria Mundi Date: Thu, 29 May 2025 03:18:44 +0200 Subject: combinatorics: add some generating functions, remove (incorrect) 2nd order Eulerian numbers --- content/latexHeaders/math.sty | 11 +------ content/math/math.tex | 72 +++++++++++++++++++++---------------------- 2 files changed, 37 insertions(+), 46 deletions(-) diff --git a/content/latexHeaders/math.sty b/content/latexHeaders/math.sty index d758f71..8219782 100644 --- a/content/latexHeaders/math.sty +++ b/content/latexHeaders/math.sty @@ -41,7 +41,7 @@ \end{matrix} \Bigr) } -% Euler numbers, first kind. +% Eulerien numbers, first order. \newcommand{\eulerI}[2]{ \Bigl\langle \begin{matrix} @@ -50,15 +50,6 @@ \end{matrix} \Bigr\rangle } -% Euler numbers, second kind. -\newcommand{\eulerII}[2]{ - \Bigl\langle\mkern-4mu\Bigl\langle - \begin{matrix} - #1 \\ - #2 - \end{matrix} - \Bigr\rangle\mkern-4mu\Bigr\rangle -} % Stirling numbers, first kind. \newcommand{\stirlingI}[2]{ \Bigl[ diff --git a/content/math/math.tex b/content/math/math.tex index f1eec86..7764d54 100644 --- a/content/math/math.tex +++ b/content/math/math.tex @@ -427,7 +427,7 @@ so gilt \end{itemize} \end{itemize} \[C_0 = 1\qquad C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} = -\frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n} = \frac{4n - 2}{n+1} \cdot C_{n-1}\] +\frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n} = \frac{4n - 2}{n+1} C_{n-1} \sim \frac{4^n}{n^{3/2} \sqrt{\pi}}\] \begin{itemize} \item Formel $1$ erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2} \item Formel $2$ und $3$ erlauben Berechnung in \runtime{n} @@ -438,70 +438,70 @@ so gilt \item Anzahl an Klammerausdrücken mit $n+k$ Klammerpaaren, die mit $(^k$ beginnen. \end{itemize} \[C^k_0 = 1\qquad C^k_n = \sum\limits_{\mathclap{a_0+a_1+\dots+a_k=n}} C_{a_0}C_{a_1}\cdots C_{a_k} = -\frac{k+1}{n+k+1}\binom{2n+k}{n} = \frac{(2n+k-1)\cdot(2n+k)}{n(n+k+1)} \cdot C_{n-1}\] +\frac{k+1}{n+k+1}\binom{2n+k}{n} = \frac{(2n+k-1)(2n+k)}{n(n+k+1)} C_{n-1}\] -\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 1. Ordnung} +\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen} Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Anstiegen. Für die $n$-te Zahl gibt es $n$ mögliche Positionen zum Einfügen. Dabei wird entweder ein Anstieg in zwei gesplitted oder ein Anstieg um $n$ ergänzt. \[\eulerI{n}{0} = \eulerI{n}{n-1} = 1 \quad -\eulerI{n}{k} = (k+1) \eulerI{n-1}{k} + (n-k) \eulerI{n-1}{k-1}= -\sum_{i=0}^{k} (-1)^i\binom{n+1}{i}(k+1-i)^n\] -\begin{itemize} - \item Formel $1$ erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2} - \item Formel $2$ erlaubt Berechnung in \runtime{n\log(n)} -\end{itemize} - -\paragraph{\textsc{Euler}-Zahlen 2. Ordnung} -Die Anzahl der Permutationen von $\{1,1, \ldots, n,n\}$ mit genau $k$ Anstiegen. -\[\eulerII{n}{0} = 1 \qquad\eulerII{n}{n} = 0 \qquad\eulerII{n}{k} = (k+1) \eulerII{n-1}{k} + (2n-k-1) \eulerII{n-1}{k-1}\] -\begin{itemize} - \item Formel erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2} -\end{itemize} +\eulerI{n}{k} = (k+1) \eulerI{n-1}{k} + (n-k) \eulerI{n-1}{k-1}\] +\[ +\eulerI{n}{k} = [x^k] + \left(\sum_{i=0}^\infty (i+1)^n x^i\right) + \left(\sum_{i=0}^\infty (-1)^i \binom{n+1}{i} x^i\right) +\] -\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Ordnung} +\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 1. Art} Die Anzahl der Permutationen von $\{1, \ldots, n\}$ mit genau $k$ Zyklen. -Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eigene Zyklus, oder sie kann an jeder Position in jedem Zyklus einsortiert werden. +Es gibt zwei Möglichkeiten für die $n$-te Zahl. Entweder sie bildet einen eigenen Zyklus, oder sie kann an jeder Position in jedem Zyklus einsortiert werden. \[\stirlingI{0}{0} = 1 \qquad \stirlingI{n}{0} = \stirlingI{0}{n} = 0 \qquad \stirlingI{n}{k} = \stirlingI{n-1}{k-1} + (n-1) \stirlingI{n-1}{k}\] -\begin{itemize} - \item Formel erlaubt berechnung ohne Division in \runtime{n^2} -\end{itemize} -\[\sum_{k=0}^{n}\pm\stirlingI{n}{k}x^k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\] -\begin{itemize} - \item Berechne Polynom mit FFT und benutzte betrag der Koeffizienten \runtime{n\log(n)^2} (nur ungefähr gleich große Polynome zusammen multiplizieren beginnend mit $x-k$) -\end{itemize} +\[ +\stirlingI{n}{k} += [x^k]\prod_{i=0}^{n-1} (x+i) += n! [x^{n-k}] \frac{1}{k!} \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i+1}x^i\right)^k +\] -\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung} +\paragraph{\textsc{Stirling}-Zahlen 2. Art} Die Anzahl der Möglichkeiten $n$ Elemente in $k$ nichtleere Teilmengen zu zerlegen. Es gibt $k$ Möglichkeiten die $n$ in eine $n-1$-Partition einzuordnen. Dazu kommt der Fall, dass die $n$ in ihrer eigenen Teilmenge (alleine) steht. \[\stirlingII{n}{1} = \stirlingII{n}{n} = 1 \qquad -\stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1} = -\frac{1}{k!} \sum\limits_{i=0}^{k} (-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n\] -\begin{itemize} - \item Formel $1$ erlaubt Berechnung ohne Division in \runtime{n^2} - \item Formel $2$ erlaubt Berechnung in \runtime{n\log(n)} -\end{itemize} +\stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1} +\] +\[ +\stirlingII{n}{k} += [x^k] + \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{i^n}{i!}x^i\right) + \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!}x^i\right) += n! [x^{n-k}] \frac{1}{k!} \left(\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(i+1)!}x^i\right)^k +\] \paragraph{\textsc{Bell}-Zahlen} Anzahl der Partitionen von $\{1, \ldots, n\}$. -Wie \textsc{Stirling}-Zahlen 2. Ordnung ohne Limit durch $k$. +Wie \textsc{Stirling}-Zahlen 2. Art ohne Limit durch $k$. \[B_1 = 1 \qquad B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} B_k\binom{n-1}{k} -= \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k}\qquad\qquad B_{p^m+n}\equiv m\cdot B_n + B_{n+1} \bmod{p}\] += \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k} += n! [x^n] e^{e^x-1} +\qquad +B_{p^m+n}\equiv m\cdot B_n + B_{n+1} \bmod{p}\] \paragraph{Partitions} Die Anzahl der Partitionen von $n$ in genau $k$ positive Summanden. Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$. \begin{align*} p_0(0)=1 \qquad p_k(n)&=0 \text{ für } k > n \text{ oder } n \leq 0 \text{ oder } k \leq 0\\ - p_k(n)&= p_k(n-k) + p_{k-1}(n-1)\\[2pt] - p(n)=\sum_{k=1}^{n} p_k(n)&=p_n(2n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\bigg[p\bigg(n - \frac{k(3k-1)}{2}\bigg) + p\bigg(n - \frac{k(3k+1)}{2}\bigg)\bigg] + p_k(n)&= p_k(n-k) + p_{k-1}(n-1)\\ + p(n)=\sum_{k=1}^{n} p_k(n)&=p_n(2n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\bigg[p\bigg(n - \frac{k(3k-1)}{2}\bigg) + p\bigg(n - \frac{k(3k+1)}{2}\bigg)\bigg] \\ + p(n)&=[x^n] \left(\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k x^{k(3k-1)/2}\right)^{-1} + \sim \frac{1}{4 \sqrt{3} n} \exp\left(\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}\right) \end{align*} \begin{itemize} \item in Formel $3$ kann abgebrochen werden wenn $\frac{k(3k-1)}{2} > n$. + $\rightarrow$ \runtime{n \sqrt{n}} \item Die Anzahl der Partitionen von $n$ in bis zu $k$ positive Summanden ist $\sum\limits_{i=0}^{k}p_i(n)=p_k(n+k)$. \end{itemize} -- cgit v1.2.3