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diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index feb89ff..8300ee4 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -49,3 +49,51 @@ Obiger Code findet kein maximales Teilfeld, das über das Ende hinausgeht. Dazu: \item nimm Maximum aus gefundenem Maximalem und Allem\textbackslash Minimalem \end{enumerate} +\subsection{Kombinatorik} + +\subsubsection{Berühmte Zahlen} +\begin{tabular}{|l|l|l|} + \hline + \textsc{Fibonacci} & $f(0) = 0 \quad f(1) = 1 \quad f(n+2) = f(n+1) + f(n)$ & siehe Bemerkungen \ref{bem:fibonacciMat}, \ref{bem:fibonacciGreedy}\\ + \textsc{Catalan} & $C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} = \frac{1}{n + 1}{2n \choose n} = \frac{2(2n - 1)}{n+1} \cdot C_{n-1}$ & siehe Bemerkungen \ref{bem:catalanOverflow}, \ref{bem:catalanAnwendung}\\ + \hline +\end{tabular} + +\begin{bem}\label{bem:fibonacciMat} +$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)^n \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}f_n \\ f_{n+1}\end{array}\right)$ +\end{bem} + +\begin{bem}[\textsc{Zeckendorfs} Theorem]\label{bem:fibonacciGreedy} +Jede positive natürliche Zahl kann eindeutig als Summe einer oder mehrerer verschiedener \textsc{Fibonacci}-Zahlen geschrieben werden, sodass keine zwei aufeinanderfolgenden \textsc{Fibonacci}-Zahlen in der Summe vorkommen. + +\emph{Lösung: } Greedy, nimm immer die größte \textsc{Fibonacci}-Zahl, die noch hineinpasst. +\end{bem} + +\begin{bem}\label{bem:catalanOverflow} +\begin{itemize} + \item Die erste und dritte angegebene Formel sind relativ sicher gegen Overflows. + \item Die erste Formel kann auch zur Berechnung der \textsc{Catalan}-Zahlen bezüglich eines Moduls genutzt werden. +\end{itemize} +\end{bem} + +\begin{bem}\label{bem:catalanAnwendung} +Die \textsc{Catalan}-Zahlen geben an: $C_n =$ +\begin{itemize} + \item Anzahl der Binärbäume mit $n$ Knoten + \item Anzahl der validen Klammerausdrücke mit $n$ Klammerpaaren + \item Anzahl der korrekten Klammerungen von $n+1$ Faktoren + \item Anzahl der Möglichkeiten ein konvexes Polygon mit $n+2$ Ecken in Dreiecke zu zerlegen. + \item Anzahl der monotonen Pfade in einem $n \times n$-Gitter, die nicht die Diagonale kreuzen. (zwischen gegenüberliegenden Ecken) +\end{itemize} +\end{bem} + +\subsubsection{Verschiedenes} +\begin{tabular}{|l|l|} + \hline + Hanoi Towers (min steps) & $T_n = 2^n - 1$\\ + regions by $n$ lines & $n\left(n + 1\right) / 2 + 1$\\ + bounded regions by $n$ lines & $\left(n^2 - 3n + 2\right) / 2$\\ + labeled rooted trees & $n^{n-1}$\\ + labeled unrooted trees & $n^{n-2}$\\ + \hline +\end{tabular}
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