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diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index 8ccc55e..f9a5ea5 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -1,5 +1,12 @@ \section{Mathe}
+\begin{algorithm}{Zykel Erkennung}
+ \begin{methods}
+ \method{cycleDetection}{findet Zyklus von $x_0$ und Länge in $f$}{b+l}
+ \end{methods}
+ \sourcecode{math/cycleDetection.cpp}
+\end{algorithm}
+
\begin{algorithm}{Longest Increasing Subsequence}
\begin{itemize}
\item \code{lower\_bound} $\Rightarrow$ streng monoton
@@ -7,14 +14,6 @@ \end{itemize}
\sourcecode{math/longestIncreasingSubsequence.cpp}
\end{algorithm}
-\columnbreak
-
-\begin{algorithm}{Zykel Erkennung}
- \begin{methods}
- \method{cycleDetection}{findet Zyklus von $x_0$ und Länge in $f$}{b+l}
- \end{methods}
- \sourcecode{math/cycleDetection.cpp}
-\end{algorithm}
\begin{algorithm}{Permutationen}
\begin{methods}
@@ -44,21 +43,20 @@ \begin{algorithm}{ggT, kgV, erweiterter euklidischer Algorithmus}
\runtime{\log(a) + \log(b)}
- \sourcecode{math/gcd-lcm.cpp}
\sourcecode{math/extendedEuclid.cpp}
\end{algorithm}
-\subsection{Multiplikatives Inverses von $\boldsymbol{n}$ in $\boldsymbol{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$}
-\textbf{Falls $\boldsymbol{p}$ prim:}\quad $x^{-1} \equiv x^{p-2} \bmod p$
+\subsection{Multiplikatives Inverses von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}$}
+\textbf{Falls $\boldsymbol{m}$ prim:}\quad $x^{-1} \equiv x^{m-2} \bmod m$
-\textbf{Falls $\boldsymbol{\ggT(n, p) = 1}$:}
+\textbf{Falls $\boldsymbol{\ggT(x, m) = 1}$:}
\begin{itemize}
\item Erweiterter euklidischer Algorithmus liefert $\alpha$ und $\beta$ mit
- $\alpha n + \beta p = 1$.
- \item Nach Kongruenz gilt $\alpha n + \beta p \equiv \alpha n \equiv 1 \bmod p$.
- \item $n^{-1} :\equiv \alpha \bmod p$
+ $\alpha x + \beta m = 1$.
+ \item Nach Kongruenz gilt $\alpha x + \beta m \equiv \alpha x \equiv 1 \bmod m$.
+ \item $x^{-1} :\equiv \alpha \bmod m$
\end{itemize}
-\textbf{Sonst $\boldsymbol{\ggT(n, p) > 1}$:}\quad Es existiert kein $x^{-1}$.
+\textbf{Sonst $\boldsymbol{\ggT(x, m) > 1}$:}\quad Es existiert kein $x^{-1}$.
% \sourcecode{math/multInv.cpp}
\sourcecode{math/shortModInv.cpp}
@@ -121,19 +119,12 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/divisors.cpp}
\end{algorithm}
-\begin{algorithm}{Primitivwurzeln}
- \begin{itemize}
- \item Primitivwurzel modulo $n$ existiert $\Leftrightarrow$ $n \in \{2,\ 4,\ p^\alpha,\ 2\cdot p^\alpha \mid\ 2 < p \in \mathbb{P},\ \alpha \in \mathbb{N}\}$
- \item es existiert entweder keine oder $\varphi(\varphi(n))$ inkongruente Primitivwurzeln
- \item Sei $g$ Primitivwurzel modulo $n$.
- Dann gilt:\newline
- Das kleinste $k$, sodass $g^k \equiv 1 \bmod n$, ist $k = \varphi(n)$.
- \end{itemize}
- \begin{methods}
- \method{isPrimitive}{prüft ob $g$ eine Primitivwurzel ist}{\log(\varphi(n))\*\log(n)}
- \method{findPrimitive}{findet Primitivwurzel (oder -1)}{\abs{ans}\*\log(\varphi(n))\*\log(n)}
- \end{methods}
- \sourcecode{math/primitiveRoot.cpp}
+\begin{algorithm}{Numerisch Extremstelle bestimmen}
+ \sourcecode{math/goldenSectionSearch.cpp}
+\end{algorithm}
+
+\begin{algorithm}{Numerisch Integrieren, Simpsonregel}
+ \sourcecode{math/simpson.cpp}
\end{algorithm}
\begin{algorithm}{Diskreter Logarithmus}
@@ -151,6 +142,22 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/discreteNthRoot.cpp}
\end{algorithm}
+
+\begin{algorithm}{Primitivwurzeln}
+ \begin{itemize}
+ \item Primitivwurzel modulo $n$ existiert $\Leftrightarrow$ $n \in \{2,\ 4,\ p^\alpha,\ 2\cdot p^\alpha \mid\ 2 < p \in \mathbb{P},\ \alpha \in \mathbb{N}\}$
+ \item es existiert entweder keine oder $\varphi(\varphi(n))$ inkongruente Primitivwurzeln
+ \item Sei $g$ Primitivwurzel modulo $n$.
+ Dann gilt:\newline
+ Das kleinste $k$, sodass $g^k \equiv 1 \bmod n$, ist $k = \varphi(n)$.
+ \end{itemize}
+ \begin{methods}
+ \method{isPrimitive}{prüft ob $g$ eine Primitivwurzel ist}{\log(\varphi(n))\*\log(n)}
+ \method{findPrimitive}{findet Primitivwurzel (oder -1)}{\abs{ans}\*\log(\varphi(n))\*\log(n)}
+ \end{methods}
+ \sourcecode{math/primitiveRoot.cpp}
+\end{algorithm}
+
\begin{algorithm}{Linearessieb und Multiplikative Funktionen}
Eine (zahlentheoretische) Funktion $f$ heißt multiplikativ wenn $f(1)=1$ und $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$, falls $\ggT(a,b)=1$.
@@ -185,7 +192,6 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \end{itemize}
\end{algorithm}
-
\begin{algorithm}{Primzahlsieb von \textsc{Eratosthenes}}
\begin{itemize}
\item Bis $10^8$ in unter 64MB Speicher (lange Berechnung)
@@ -216,33 +222,25 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: %\sourcecode{math/mobius.cpp}
\end{algorithm}
-%\columnbreak
-%\subsection{\textsc{Euler}sche $\boldsymbol{\varphi}$-Funktion}
-%\begin{itemize}
-% \item Zählt die relativ primen Zahlen $\leq n$.
-%
-% \item Multiplikativ:
-% $\gcd(a,b) = 1 \Longrightarrow \varphi(a) \cdot \varphi(b) = \varphi(ab)$
-%
-% \item $p$ prim, $k \in \mathbb{N}$:
-% $~\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$
-%
-% \item \textbf{\textsc{Euler}'s Theorem:}
-% Für $b \geq \varphi(c)$ gilt: $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \pmod{c}$. Darüber hinaus gilt: $\gcd(a, c) = 1 \Leftrightarrow a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c)} \pmod{c}$.
-% Falls $m$ prim ist, liefert das den \textbf{kleinen Satz von \textsc{Fermat}}:
-% $a^{m} \equiv a \pmod{m}$
-%\end{itemize}
-%\sourcecode{math/phi.cpp}
-
-
-\begin{algorithm}{Numerisch Extremstelle bestimmen}
- \sourcecode{math/goldenSectionSearch.cpp}
-\end{algorithm}
-
-
-\begin{algorithm}{Numerisch Integrieren, Simpsonregel}
- \sourcecode{math/simpson.cpp}
-\end{algorithm}
+\optional{
+\columnbreak
+\subsection{\textsc{Euler}sche $\boldsymbol{\varphi}$-Funktion}
+\begin{itemize}
+ \item Zählt die relativ primen Zahlen $\leq n$.
+
+ \item Multiplikativ:
+ $\gcd(a,b) = 1 \Longrightarrow \varphi(a) \cdot \varphi(b) = \varphi(ab)$
+
+ \item $p$ prim, $k \in \mathbb{N}$:
+ $~\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$
+
+ \item \textbf{\textsc{Euler}'s Theorem:}
+ Für $b \geq \varphi(c)$ gilt: $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \pmod{c}$. Darüber hinaus gilt: $\gcd(a, c) = 1 \Leftrightarrow a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c)} \pmod{c}$.
+ Falls $m$ prim ist, liefert das den \textbf{kleinen Satz von \textsc{Fermat}}:
+ $a^{m} \equiv a \pmod{m}$
+\end{itemize}
+\sourcecode{math/phi.cpp}
+}
\begin{algorithm}{Polynome, FFT, NTT \& andere Transformationen}
Multipliziert Polynome $A$ und $B$.
@@ -259,21 +257,53 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: %\textcolor{safeOrange}{$\blacksquare$} NTT code, %\textcolor{safeGreen}{$\blacksquare$} FFT code
\sourcecode{math/transforms/fft.cpp}
\sourcecode{math/transforms/ntt.cpp}
+ \vfill*
+ \columnbreak
\sourcecode{math/transforms/bitwiseTransforms.cpp}
Multiplikation mit 2 transforms statt 3: (nur benutzten wenn nötig!)
\sourcecode{math/transforms/fftMul.cpp}
\end{algorithm}
-\subsection{LGS über $\boldsymbol{\mathbb{R}}$}
-\method{gauss}{löst LGS}{n^3}
-\sourcecode{math/gauss.cpp}
+\begin{algorithm}{Operations on Formal Power Series}
+ \sourcecode{math/transforms/seriesOperations.cpp}
+\end{algorithm}
\subsection{LGS über $\boldsymbol{\mathbb{F}_p}$}
\method{gauss}{löst LGS}{n^3}
\sourcecode{math/lgsFp.cpp}
-\clearpage
+\subsection{LGS über $\boldsymbol{\mathbb{R}}$}
+\method{gauss}{löst LGS}{n^3}
+\sourcecode{math/gauss.cpp}
+
+\begin{algorithm}{\textsc{Legendre}-Symbol}
+ Sei $p \geq 3$ eine Primzahl, $a \in \mathbb{Z}$:
+ \begin{align*}
+ \legendre{a}{p} &=
+ \begin{cases*}
+ \hphantom{-}0 & falls $p~\vert~a$ \\[-1ex]
+ \hphantom{-}1 & falls $\exists x \in \mathbb{Z}\backslash p\mathbb{Z} : a \equiv x^2 \bmod p$ \\[-1ex]
+ -1 & sonst
+ \end{cases*} \\
+ \legendre{-1}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2}} &=
+ \begin{cases*}
+ \hphantom{-}1 & falls $p \equiv 1 \bmod 4$ \\[-1ex]
+ -1 & falls $p \equiv 3 \bmod 4$
+ \end{cases*} \\
+ \legendre{2}{p} = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}} &=
+ \begin{cases*}
+ \hphantom{-}1 & falls $p \equiv \pm 1 \bmod 8$ \\[-1ex]
+ -1 & falls $p \equiv \pm 3 \bmod 8$
+ \end{cases*}
+ \end{align*}
+ \begin{align*}
+ \legendre{p}{q} \cdot \legendre{q}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2}} &&
+ \legendre{a}{p} \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\bmod p
+ \end{align*}
+ \sourcecode{math/legendre.cpp}
+\end{algorithm}
+\optional{
\subsection{Primzahlzählfunktion $\boldsymbol{\pi}$}
\begin{methods}
\method{init}{berechnet $\pi$ bis $N$}{N\*\log(\log(N))}
@@ -281,6 +311,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \method{pi}{zählt Primzahlen $\leq n$ ($n < N^2$)}{n^{2/3}}
\end{methods}
\sourcecode{math/piLehmer.cpp}
+}
\begin{algorithm}{Lineare-Recurenz}
\begin{methods}
@@ -331,33 +362,6 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/matrixPower.cpp}
\end{algorithm}
-\begin{algorithm}{\textsc{Legendre}-Symbol}
- Sei $p \geq 3$ eine Primzahl, $a \in \mathbb{Z}$:
- \begin{align*}
- \legendre{a}{p} &=
- \begin{cases*}
- \hphantom{-}0 & falls $p~\vert~a$ \\[-1ex]
- \hphantom{-}1 & falls $\exists x \in \mathbb{Z}\backslash p\mathbb{Z} : a \equiv x^2 \bmod p$ \\[-1ex]
- -1 & sonst
- \end{cases*} \\
- \legendre{-1}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2}} &=
- \begin{cases*}
- \hphantom{-}1 & falls $p \equiv 1 \bmod 4$ \\[-1ex]
- -1 & falls $p \equiv 3 \bmod 4$
- \end{cases*} \\
- \legendre{2}{p} = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}} &=
- \begin{cases*}
- \hphantom{-}1 & falls $p \equiv \pm 1 \bmod 8$ \\[-1ex]
- -1 & falls $p \equiv \pm 3 \bmod 8$
- \end{cases*}
- \end{align*}
- \begin{align*}
- \legendre{p}{q} \cdot \legendre{q}{p} = (-1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2}} &&
- \legendre{a}{p} \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\bmod p
- \end{align*}
- \sourcecode{math/legendre.cpp}
-\end{algorithm}
-
\begin{algorithm}{Inversionszahl}
\sourcecode{math/inversions.cpp}
\end{algorithm}
@@ -405,20 +409,20 @@ so gilt %\begin{algorithm}{Binomialkoeffizienten}
\paragraph{Binomialkoeffizienten}
Die Anzahl der \mbox{$k$-elementigen} Teilmengen einer \mbox{$n$-elementigen} Menge.
+
\begin{methods}
\method{precalc}{berechnet $n!$ und $n!^{-1}$ vor}{\mathit{lim}}
\method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient}{1}
\end{methods}
\sourcecode{math/binomial0.cpp}
Falls $n >= p$ for $\mathit{mod}=p^k$ berechne \textit{fac} und \textit{inv} aber teile $p$ aus $i$ und berechne die häufigkeit von $p$ in $n!$ als $\sum\limits_{i=1}\big\lfloor\frac{n}{p^i}\big\rfloor$
-\columnbreak
-
- \begin{methods}
+
+ \begin{methods}
\method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient $(n \le 61)$}{k}
\end{methods}
\sourcecode{math/binomial1.cpp}
-
- \begin{methods}
+
+ \begin{methods}
\method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient modulo Primzahl $p$}{p-n}
\end{methods}
\sourcecode{math/binomial3.cpp}
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