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diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index cc8d263..7b2481d 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -293,7 +293,7 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale $\sum\limits_{i = 1}^n \binom{n}{i} F_i = F_{2n} \quad F_n = n\text{-th Fib.}$ \\ \bottomrule \end{tabular} -\vspace{5mm} +\vspace{1mm} \begin{tabular}{l|l|l} \toprule @@ -324,6 +324,37 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale } \\ \bottomrule \end{tabular} +\vspace{1mm} + +\begin{tabular}{l|r} + \toprule + \multicolumn{2}{c}{ + Wahrscheinlichkeitstheorie ($A,B$ Ereignisse und $X,Y$ Variablen) + } \\ + \midrule + $\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y)$ & + $\E(\alpha X) = \alpha \E(X)$ \\ + + $X, Y$ unabh. $\Leftrightarrow \E(XY) = \E(X) \cdot \E(Y)$ & + $\Pr[A \vert B] = \frac{\Pr[A \land B]}{\Pr[B]}$ \\ + + $\Pr[A \lor B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \land B]$ & + $\Pr[A \land B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B]$ \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\vspace{1mm} + +\begin{tabular}{lr|lr} + \toprule + \multicolumn{4}{c}{\textsc{Bertrand}'s Ballot Theorem (Kandidaten $A$ und $B$, $k \in \mathbb{N}$)} \\ + \midrule + $\#A > k\#B$ & $Pr = \frac{a - kb}{a + b}$ & + $\#B - \#A \leq k$ & $Pr = 1 - \frac{a!b!}{(a + k + 1)!(b - k - 1)!}$ \\ + + $\#A \geq k\#B$ & $Pr = \frac{a + 1 - kb}{a + 1}$ & + $\#A \geq \#B + k$ & $Num = \frac{a - k + 1 - b}{a - k + 1} \binom{a + b - k}{b}$ \\ + \bottomrule +\end{tabular} \vspace{5mm} \begin{tabular}{c|cccc} @@ -407,36 +438,36 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale \end{flushleft} \vspace{1mm} -\begin{tabular}{l|r} +\begin{tabular}{ll} \toprule - \multicolumn{2}{c}{ - Wahrscheinlichkeitstheorie ($A,B$ Ereignisse und $X,Y$ Variablen) - } \\ + \multicolumn{2}{c}{Verschiedenes} \\ \midrule - $\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y)$ & - $\E(\alpha X) = \alpha \E(X)$ \\ + Türme von Hanoi, minimale Schirttzahl: & + $T_n = 2^n - 1$ \\ - $X, Y$ unabh. $\Leftrightarrow \E(XY) = \E(X) \cdot \E(Y)$ & - $\Pr[A \vert B] = \frac{\Pr[A \land B]}{\Pr[B]}$ \\ + \#Regionen zwischen $n$ Gearden & + $\frac{n\left(n + 1\right)}{2} + 1$ \\ - $\Pr[A \lor B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \land B]$ & - $\Pr[A \land B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B]$ \\ - \bottomrule -\end{tabular} -\vspace{1mm} + \#geschlossene Regionen zwischen $n$ Geraden & + $\frac{n^2 - 3n + 2}{2}$ \\ -\begin{tabular}{lr|lr} - \toprule - \multicolumn{4}{c}{\textsc{Bertrand}'s Ballot Theorem (Kandidaten $A$ und $B$, $k \in \mathbb{N}$)} \\ - \midrule - $\#A > k\#B$ & $Pr = \frac{a - kb}{a + b}$ & - $\#B - \#A \leq k$ & $Pr = 1 - \frac{a!b!}{(a + k + 1)!(b - k - 1)!}$ \\ + \#markierte, gewurzelte Bäume & + $n^{n-1}$ \\ - $\#A \geq k\#B$ & $Pr = \frac{a + 1 - kb}{a + 1}$ & - $\#A \geq \#B + k$ & $Num = \frac{a - k + 1 - b}{a - k + 1} \binom{a + b - k}{b}$ \\ + \#markierte, nicht gewurzelte Bäume & + $n^{n-2}$ \\ + + \#Wälder mit $k$ gewurzelten Bäumen & + $\frac{k}{n}\binom{n}{k}n^{n-k}$ \\ + + Derangements & + $!n = (n - 1)(!(n - 1) + !(n - 2))$ \\ + & + $!n = \left\lfloor\frac{n!}{e} + \frac{1}{2}\right\rfloor$ \\ + & + $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e}$ \\ \bottomrule \end{tabular} -\vspace{5mm} \begin{tabular}{p{4.3cm}|p{7cm}} \toprule @@ -534,38 +565,6 @@ Anzahl der Teilmengen von $\mathbb{N}$, die sich zu $n$ aufaddieren mit maximale Periode ab $n = 72$ der Länge $12$.\\ \bottomrule \end{tabular} -\vspace{5mm} - -\begin{tabular}{ll} - \toprule - \multicolumn{2}{c}{Verschiedenes} \\ - \midrule - Türme von Hanoi, minimale Schirttzahl: & - $T_n = 2^n - 1$ \\ - - \#Regionen zwischen $n$ Gearden & - $\frac{n\left(n + 1\right)}{2} + 1$ \\ - - \#geschlossene Regionen zwischen $n$ Geraden & - $\frac{n^2 - 3n + 2}{2}$ \\ - - \#markierte, gewurzelte Bäume & - $n^{n-1}$ \\ - - \#markierte, nicht gewurzelte Bäume & - $n^{n-2}$ \\ - - \#Wälder mit $k$ gewurzelten Bäumen & - $\frac{k}{n}\binom{n}{k}n^{n-k}$ \\ - - Derangements & - $!n = (n - 1)(!(n - 1) + !(n - 2))$ \\ - & - $!n = \left\lfloor\frac{n!}{e} + \frac{1}{2}\right\rfloor$ \\ - & - $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e}$ \\ - \bottomrule -\end{tabular} % \subsection{Big Integers} % \lstinputlisting{math/bigint.cpp} |