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diff --git a/math/math.tex b/math/math.tex index e640814..235c508 100644 --- a/math/math.tex +++ b/math/math.tex @@ -38,7 +38,7 @@ %\end{multicols} %\vspace{-2.75em} \begin{itemize} - \item für $a > 10^9$ \code{__int128} oder \code{modMul} benutzten! + \item für $a > 10^9$ \code{__int128} oder \code{modMul} benutzten! \end{itemize} \begin{algorithm}{ggT, kgV, erweiterter euklidischer Algorithmus} @@ -165,8 +165,8 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/linearSieve.cpp} \textbf{\textsc{Möbius} Funtkion:} \begin{itemize} - \item $\mu(n)=+1$, falls $n$ quadratfrei ist und gerade viele Primteiler hat - \item $\mu(n)=-1$, falls $n$ quadratfrei ist und ungerade viele Primteiler hat + \item $\mu(n)=+1$, falls $n$ quadratfrei ist und gerade viele Primteiler hat + \item $\mu(n)=-1$, falls $n$ quadratfrei ist und ungerade viele Primteiler hat \item $\mu(n)=0$, falls $n$ nicht quadratfrei ist \end{itemize} @@ -293,7 +293,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: Alternativ kann der \mbox{$k$-te} Term in \runtime{n^3\log(k)} berechnet werden: $$\renewcommand\arraystretch{1.5} \setlength\arraycolsep{3pt} - \begin{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_{n-1} & c_{n-2} & \smash{\cdots} & \smash{\cdots} & c_0 \\ 1 & 0 & \smash{\cdots} & \smash{\cdots} & 0 \\ 0 & \smash{\ddots} & \smash{\ddots} & & \smash{\vdots} \\ @@ -301,7 +301,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: 0 & \smash{\cdots} & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}^k \times~~ - \begin{pmatrix} + \begin{pmatrix} f(n-1) \\ f(n-2) \\ \smash{\vdots} \\ @@ -309,7 +309,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: f(0) \\ \end{pmatrix} ~~=~~ - \begin{pmatrix} + \begin{pmatrix} f(n-1+k) \\ f(n-2+k) \\ \smash{\vdots} \\ @@ -364,7 +364,7 @@ Weise jedem Zustand $X$ wie folgt eine \textsc{Grundy}-Zahl $g\left(X\right)$ zu g\left(X\right) := \min\left\{ \mathbb{Z}_0^+ \setminus \left\{g\left(Y\right) \mid Y \text{ von } X \text{ aus direkt erreichbar}\right\} -\right\} +\right\} \] $X$ ist genau dann gewonnen, wenn $g\left(X\right) > 0$ ist.\\ Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \textsc{Grundy}-Zahl des Gesamtzustandes $g\left(X_1\right) \oplus \ldots \oplus g\left(X_k\right)$. @@ -372,7 +372,7 @@ Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \text \subsection{Kombinatorik} \paragraph{Wilsons Theorem} -A number $n$ is prime if and only if +A number $n$ is prime if and only if $(n-1)!\equiv -1\bmod{n}$.\\ ($n$ is prime if and only if $(m-1)!\cdot(n-m)!\equiv(-1)^m\bmod{n}$ for all $m$ in $\{1,\dots,n\}$) \begin{align*} |