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diff --git a/graph/graph.tex b/graph/graph.tex index a26661d..47f1d75 100644 --- a/graph/graph.tex +++ b/graph/graph.tex @@ -68,52 +68,6 @@ Sei $d_{ij}$ die Distanzmatrix von $G$, dann gibt $d_{ij}^k$ die kürzeste Dista Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, dann gibt $a_{ij}^k$ die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ mit Länge genau \textcolor{gray}{(maximal)} $k$ an mit der Verknüpfung: $c_{ij} = a_{ij} \* b_{ij} = \sum a_{ik} + b_{kj}$ -\begin{algorithm}{Artikulationspunkte, Brücken und BCC} - \begin{methods} - \method{findArticulationPoints}{berechnet Artikulationspunkte,}{\abs{V}+\abs{E}} - \method{}{Brücken und BCC}{} - \end{methods} - \textbf{Wichtig:} isolierte Knoten und Brücken sind keine BCC. - \sourcecode{graph/articulationPoints.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Strongly Connected Components (\textsc{Tarjan})} - \begin{methods} - \method{scc}{berechnet starke Zusammenhangskomponenten}{\abs{V}+\abs{E}} - \end{methods} - \sourcecode{graph/scc.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{2-SAT} - \sourcecode{graph/2sat.cpp} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Eulertouren} - \begin{methods} - \method{euler}{berechnet den Kreis}{\abs{V}+\abs{E}} - \end{methods} - \sourcecode{graph/euler.cpp} - \begin{itemize} - \item Zyklus existiert, wenn jeder Knoten geraden Grad hat (ungerichtet),\\ bei jedem Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen (gerichtet). - \item Pfad existiert, wenn genau $\{0, 2\}$ Knoten ungeraden Grad haben (ungerichtet),\\ bei allen Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen oder einer eine Ausgangskante mehr hat (Startknoten) und einer eine Eingangskante mehr hat (Endknoten). - \item \textbf{Je nach Aufgabenstellung überprüfen, wie ein unzusammenhängender Graph interpretiert werden sollen.} - \item Wenn eine bestimmte Sortierung verlangt wird oder Laufzeit vernachlässigbar ist, ist eine Implementierung mit einem \code{vector<set<int>> adjlist} leichter - \item \textbf{Wichtig:} Algorithmus schlägt nicht fehl, falls kein Eulerzyklus existiert. - Die Existenz muss separat geprüft werden. - \end{itemize} -\end{algorithm} - -\begin{algorithm}{Cycle Counting} - \begin{methods} - \method{findBase}{berechnet Basis}{\abs{V}\cdot\abs{E}} - \method{count}{zählt Zykel}{2^{\abs{\mathit{base}}}} - \end{methods} - \begin{itemize} - \item jeder Zyklus ist das xor von einträgen in \code{base}. - \end{itemize} - \sourcecode{graph/cycleCounting.cpp} -\end{algorithm} - \begin{algorithm}{Lowest Common Ancestor} \begin{methods} \method{init}{baut DFS-Baum über $g$ auf}{\abs{V}\*\log(\abs{V})} @@ -132,14 +86,33 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da Subbaum unter dem Knoten $v$ ist das Intervall $[\text{\code{in[v]}},~\text{\code{out[v]}})$. \sourcecode{graph/hld.cpp} \end{algorithm} +\clearpage -\begin{algorithm}{Dynamic Connectivity} +\begin{algorithm}{Maximal Cliques} \begin{methods} - \method{Constructor}{erzeugt Baum ($n$ Knoten, $m$ updates)}{n+m} - \method{addEdge}{fügt Kannte ein,\texttt{id}=delete Zeitpunkt}{\log(n)} - \method{eraseEdge}{entfernt Kante \texttt{id}}{\log(n)} + \method{bronKerbosch}{berechnet alle maximalen Cliquen}{3^\frac{n}{3}} + \method{addEdge}{fügt \textbf{ungerichtete} Kante ein}{1} \end{methods} - \sourcecode{graph/connect.cpp} + \sourcecode{graph/bronKerbosch.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Artikulationspunkte, Brücken und BCC} + \begin{methods} + \method{find}{berechnet Artikulationspunkte, Brücken und BCC}{\abs{V}+\abs{E}} + \end{methods} + \textbf{Wichtig:} isolierte Knoten und Brücken sind keine BCC. + \sourcecode{graph/articulationPoints.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Strongly Connected Components (\textsc{Tarjan})} + \begin{methods} + \method{scc}{berechnet starke Zusammenhangskomponenten}{\abs{V}+\abs{E}} + \end{methods} + \sourcecode{graph/scc.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{2-SAT} + \sourcecode{graph/2sat.cpp} \end{algorithm} \begin{algorithm}{Global Mincut} @@ -254,10 +227,37 @@ Sei $a_{ij}$ die Adjazenzmatrix von $G$ \textcolor{gray}{(mit $a_{ii} = 1$)}, da \end{algorithm} } -\begin{algorithm}{Maximal Cliques} +\begin{algorithm}{Cycle Counting} \begin{methods} - \method{bronKerbosch}{berechnet alle maximalen Cliquen}{3^\frac{n}{3}} - \method{addEdge}{fügt \textbf{ungerichtete} Kante ein}{1} + \method{findBase}{berechnet Basis}{\abs{V}\cdot\abs{E}} + \method{count}{zählt Zykel}{2^{\abs{\mathit{base}}}} \end{methods} - \sourcecode{graph/bronKerbosch.cpp} + \begin{itemize} + \item jeder Zyklus ist das xor von einträgen in \code{base}. + \end{itemize} + \sourcecode{graph/cycleCounting.cpp} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Eulertouren} + \begin{methods} + \method{euler}{berechnet den Kreis}{\abs{V}+\abs{E}} + \end{methods} + \sourcecode{graph/euler.cpp} + \begin{itemize} + \item Zyklus existiert, wenn jeder Knoten geraden Grad hat (ungerichtet),\\ bei jedem Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen (gerichtet). + \item Pfad existiert, wenn genau $\{0, 2\}$ Knoten ungeraden Grad haben (ungerichtet),\\ bei allen Knoten Ein- und Ausgangsgrad übereinstimmen oder einer eine Ausgangskante mehr hat (Startknoten) und einer eine Eingangskante mehr hat (Endknoten). + \item \textbf{Je nach Aufgabenstellung überprüfen, wie ein unzusammenhängender Graph interpretiert werden sollen.} + \item Wenn eine bestimmte Sortierung verlangt wird oder Laufzeit vernachlässigbar ist, ist eine Implementierung mit einem \code{vector<set<int>> adjlist} leichter + \item \textbf{Wichtig:} Algorithmus schlägt nicht fehl, falls kein Eulerzyklus existiert. + Die Existenz muss separat geprüft werden. + \end{itemize} +\end{algorithm} + +\begin{algorithm}{Dynamic Connectivity} + \begin{methods} + \method{Constructor}{erzeugt Baum ($n$ Knoten, $m$ updates)}{n+m} + \method{addEdge}{fügt Kannte ein,\texttt{id}=delete Zeitpunkt}{\log(n)} + \method{eraseEdge}{entfernt Kante \texttt{id}}{\log(n)} + \end{methods} + \sourcecode{graph/connect.cpp} \end{algorithm} |
