summaryrefslogtreecommitdiff
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Diffstat (limited to 'content')
-rw-r--r--content/math/math.tex79
-rw-r--r--content/math/minMod.cpp26
-rw-r--r--content/math/tables.tex18
-rw-r--r--content/math/tables/binom.tex31
-rw-r--r--content/math/tables/composite.tex45
-rw-r--r--content/math/tables/nim.tex5
-rw-r--r--content/math/tables/numbers.tex59
-rw-r--r--content/math/tables/platonic.tex26
-rw-r--r--content/math/tables/probability.tex17
-rw-r--r--content/math/tables/series.tex32
-rw-r--r--content/math/tables/stuff.tex9
-rw-r--r--content/tcr.tex3
12 files changed, 148 insertions, 202 deletions
diff --git a/content/math/math.tex b/content/math/math.tex
index 6b765ca..c07a41e 100644
--- a/content/math/math.tex
+++ b/content/math/math.tex
@@ -342,31 +342,6 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch:
\sourcecode{math/transforms/seriesOperations.cpp}
\end{algorithm}
-
-\begin{algorithm}{Div Sum}
- \method{divSum}{berechnet $\sum_{i=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{a\cdot i + b}{m} \right\rfloor$}{\log(n)}
- \textbf{Wichtig:} $b$ darf nicht negativ sein!
- \sourcecode{math/divSum.cpp}
-\end{algorithm}
-
-\begin{algorithm}{Min Mod}
- \method{firstVal}{berechnet den ersten Wert von $0,\ a, \ldots,\ a \cdot i \bmod{m}$, der in $[l, r]$ liegt. Gibt $-1$ zurück, falls er nicht existiert.}{\log(m)}
- \method{minMod}{berechnet das Minimum von $(a \cdot i + b) \bmod{m}$ für $i \in [0, n)$}{\log(m)}
- \textbf{Wichtig:} $0 \leq a, b, l, r < m$
- \sourcecode{math/minMod.cpp}
-\end{algorithm}
-
-\subsection{Satz von \textsc{Sprague-Grundy}}
-Weise jedem Zustand $X$ wie folgt eine \textsc{Grundy}-Zahl $g\left(X\right)$ zu:
-\[
-g\left(X\right) := \min\left\{
-\mathbb{Z}_0^+ \setminus
-\left\{g\left(Y\right) \mid Y \text{ von } X \text{ aus direkt erreichbar}\right\}
-\right\}
-\]
-$X$ ist genau dann gewonnen, wenn $g\left(X\right) > 0$ ist.\\
-Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \textsc{Grundy}-Zahl des Gesamtzustandes $g\left(X_1\right) \oplus \ldots \oplus g\left(X_k\right)$.
-
\subsection{Kombinatorik}
\paragraph{Wilsons Theorem}
@@ -400,13 +375,14 @@ so gilt
\paragraph{Binomialkoeffizienten}
Die Anzahl der \mbox{$k$-elementigen} Teilmengen einer \mbox{$n$-elementigen} Menge.
+ \input{math/tables/binom}
+
\begin{methods}
\method{precalc}{berechnet $n!$ und $n!^{-1}$ vor}{\mathit{lim}}
\method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient}{1}
\end{methods}
\sourcecode{math/binomial0.cpp}
Falls $n >= p$ for $\mathit{mod}=p^k$ berechne \textit{fac} und \textit{inv} aber teile $p$ aus $i$ und berechne die häufigkeit von $p$ in $n!$ als $\sum\limits_{i=1}\big\lfloor\frac{n}{p^i}\big\rfloor$
- \columnbreak
\begin{methods}
\method{calc\_binom}{berechnet Binomialkoeffizient $(n \le 61)$}{k}
@@ -519,6 +495,54 @@ Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$.
\subsection{The Twelvefold Way \textnormal{(verteile $n$ Bälle auf $k$ Boxen)}}
\input{math/tables/twelvefold}
+\subsection{Platonische Körper}
+\input{math/tables/platonic}
+
+\input{math/tables/probability}
+
+\subsection{Satz von \textsc{Sprague-Grundy}}
+Weise jedem Zustand $X$ wie folgt eine \textsc{Grundy}-Zahl $g\left(X\right)$ zu:
+\[
+g\left(X\right) := \min\left\{
+\mathbb{Z}_0^+ \setminus
+\left\{g\left(Y\right) \mid Y \text{ von } X \text{ aus direkt erreichbar}\right\}
+\right\}
+\]
+$X$ ist genau dann gewonnen, wenn $g\left(X\right) > 0$ ist.\\
+Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \textsc{Grundy}-Zahl des Gesamtzustandes $g\left(X_1\right) \oplus \ldots \oplus g\left(X_k\right)$.
+
+\subsection{Nim-Spiele}
+\begin{itemize}
+ \item[\ding{182}] letzter gewinnt (normal)
+ \item[\ding{183}] letzter verliert
+\end{itemize}
+\input{math/tables/nim}
+
+\subsection{Verschiedenes}
+\input{math/tables/stuff}
+
+\begin{algorithm}{Div Sum}
+ \method{divSum}{berechnet $\sum_{i=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{a\cdot i + b}{m} \right\rfloor$}{\log(n)}
+ \textbf{Wichtig:} $b$ darf nicht negativ sein!
+ \sourcecode{math/divSum.cpp}
+\end{algorithm}
+
+\begin{algorithm}{Min Mod}
+ \begin{methods}
+ \method{firstVal}{berechnet den ersten Wert von $0,\ a, \ldots,\ a \cdot i \bmod{m}$,}{\log(m)}
+ \method{}{der in $[l, r]$ liegt. Gibt $-1$ zurück, falls er nicht existiert.}{}
+ \method{minMod}{berechnet das Minimum von $(a \cdot i + b) \bmod{m}$ für $i \in [0, n)$}{\log(m)}
+ \end{methods}
+ \textbf{Wichtig:} $0 \leq a, b, l, r < m$
+ \sourcecode{math/minMod.cpp}
+\end{algorithm}
+
+\subsection{Reihen}
+\input{math/tables/series}
+
+\subsection{Wichtige Zahlen}
+\input{math/tables/composite}
+
\optional{
\subsection{Primzahlzählfunktion $\boldsymbol{\pi}$}
\begin{methods}
@@ -529,7 +553,8 @@ Die Anzahl der Partitionen von $n$ mit Elementen aus ${1,\dots,k}$.
\sourcecode{math/piLehmer.cpp}
}
-%\input{math/tables/numbers}
+\subsection{Primzahlzählfunktion $\boldsymbol{\pi}$}
+\sourcecode{math/piLegendre.cpp}
\begin{algorithm}[optional]{Big Integers}
\sourcecode{math/bigint.cpp}
diff --git a/content/math/minMod.cpp b/content/math/minMod.cpp
index 2db060a..91f31d0 100644
--- a/content/math/minMod.cpp
+++ b/content/math/minMod.cpp
@@ -1,18 +1,22 @@
-ll firstVal(ll a, ll m, ll l, ll r){
- if(l == 0) return 0;
- if(a == 0) return -1;
- if((l-1)/a < r/a) return (l+a-1)/a*a;
- ll s = (r+a-1)/a*a;
- ll v = firstVal(m%a, a, s-r, s-l);
+ll firstVal(ll a, ll m, ll l, ll r) {
+ if (l == 0) return 0;
+ if (a == 0) return -1;
+ if ((l-1)/a < r/a) return (l+a-1) / a*a;
+ ll s = (r+a-1) / a*a;
+ ll v = firstVal(m % a, a, s-r, s-l);
return v == -1 ? -1 : s - v;
}
-ll minMod(ll n, ll m, ll a, ll b){
- if(a == 0) return b;
- ll g = gcd(m, a), c = b%g;
- m /= g, a /= g, b /= g;
+ll minMod(ll n, ll m, ll a, ll b) {
+ if (a == 0) return b;
+ ll g = gcd(m, a);
+ c = b%g;
+ m /= g;
+ a /= g;
+ b /= g;
ll ai = multInv(a, m);
- ll l = ai*b % m, r = (n-1 + ai*b) % m;
+ ll l = ai*b % m;
+ ll r = (n-1 + ai*b) % m;
if(n >= m || l > r) return c;
return a * firstVal(ai, m, l, r) % m * g + c;
} \ No newline at end of file
diff --git a/content/math/tables.tex b/content/math/tables.tex
deleted file mode 100644
index 53f3758..0000000
--- a/content/math/tables.tex
+++ /dev/null
@@ -1,18 +0,0 @@
-\enlargethispage{0.2cm}
-\begin{multicols*}{2}
- \input{math/tables/binom}
- \vfill
- \input{math/tables/composite}
- \vfill
- \input{math/tables/platonic}
- \vfill
- \input{math/tables/series}
-
- \columnbreak
-
- \input{math/tables/probability}
- \vfill
- \input{math/tables/stuff}
- \vfill
- \input{math/tables/nim}
-\end{multicols*}
diff --git a/content/math/tables/binom.tex b/content/math/tables/binom.tex
index 878a6b0..9fc9ae3 100644
--- a/content/math/tables/binom.tex
+++ b/content/math/tables/binom.tex
@@ -1,28 +1,27 @@
-\begin{tabularx}{\linewidth}{|XXXX|}
+\begin{expandtable}
+\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|}
\hline
- \multicolumn{4}{|c|}{Binomialkoeffizienten} \\
- \hline
- \multicolumn{4}{|c|}{
$\frac{n!}{k!(n - k)!} \hfill=\hfill
\binom{n}{k} \hfill=\hfill
\binom{n}{n - k} \hfill=\hfill
\frac{n}{k}\binom{n - 1}{k - 1} \hfill=\hfill
\frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k - 1} \hfill=\hfill
- \binom{n - 1}{k} + \binom{n - 1}{k - 1} \hfill=\hfill
+ \frac{k+1}{n-k}\binom{n}{k + 1} \hfill=\hfill$\\
+
+ $\binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k} \hfill=\hfill
+ \binom{n + 1}{k + 1} - \binom{n}{k + 1} \hfill=\hfill
(-1)^k \binom{k - n - 1}{k} \hfill\approx\hfill
- 2^{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{2\pi n}}\cdot\exp\left(-\frac{2(x - \frac{n}{2})^2}{n}\right)$
- } \\
+ 2^{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{2\pi n}}\cdot\exp\left(-\frac{2(x - \frac{n}{2})^2}{n}\right)$\\
\grayhline
- $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ &
- $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{k}{m} = \binom{n + 1}{m + 1}$ &
- $\sum\limits_{i = 0}^n \binom{n}{i}^2 = \binom{2n}{n}$ &
- $\sum\limits_{k = 0}^n\binom{r + k}{k} = \binom{r + n + 1}{n}$\\
+ $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n\hfill
+ \sum\limits_{k = 0}^n \binom{k}{m} = \binom{n + 1}{m + 1}\hfill
+ \sum\limits_{i = 0}^n \binom{n}{i}^2 = \binom{2n}{n}\hfill
+ \sum\limits_{k = 0}^n\binom{r + k}{k} = \binom{r + n + 1}{n}$\\
- $\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n - k}{m - k}$ &
- $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{r}{k}\binom{s}{n - k} = \binom{r + s}{n}$ &
- \multicolumn{2}{l|}{
- $\sum\limits_{i = 1}^n \binom{n}{i} F_i = F_{2n} \quad F_n = n\text{-th Fib.}$
- }\\
+ $\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n - k}{m - k}\hfill
+ \sum\limits_{k = 0}^n \binom{r}{k}\binom{s}{n - k} = \binom{r + s}{n}\hfill
+ \sum\limits_{i = 1}^n \binom{n}{i} \mathit{Fib}_i = \mathit{Fib}_{2n}$\\
\hline
\end{tabularx}
+\end{expandtable}
diff --git a/content/math/tables/composite.tex b/content/math/tables/composite.tex
index c261db1..7a6ab09 100644
--- a/content/math/tables/composite.tex
+++ b/content/math/tables/composite.tex
@@ -1,27 +1,26 @@
-
-\begin{tabularx}{\linewidth}{|r||r||r|r||r|r|r||C|}
+\begin{expandtable}
+\begin{tabularx}{\linewidth}{|r||r|R||r||r|}
\hline
- \multicolumn{8}{|c|}{Important Numbers} \\
+ $10^x$ & Highly Composite & \# Divs & \# prime Divs & \# Primes \\
\hline
- $10^x$ & Highly Composite & \# Divs & $<$ Prime & $>$ Prime & \# Primes & primorial & \\
- \hline
- 1 & 6 & 4 & $-3$ & $+1$ & 4 & 2 & \\
- 2 & 60 & 12 & $-3$ & $+1$ & 25 & 3 & \\
- 3 & 840 & 32 & $-3$ & $+9$ & 168 & 4 & \\
- 4 & 7\,560 & 64 & $-27$ & $+7$ & 1\,229 & 5 & \\
- 5 & 83\,160 & 128 & $-9$ & $+3$ & 9\,592 & 6 & \\
- 6 & 720\,720 & 240 & $-17$ & $+3$ & 78\,498 & 7 & \\
- 7 & 8\,648\,640 & 448 & $-9$ & $+19$ & 664\,579 & 8 & \\
- 8 & 73\,513\,440 & 768 & $-11$ & $+7$ & 5\,761\,455 & 8 & \\
- 9 & 735\,134\,400 & 1\,344 & $-63$ & $+7$ & 50\,847\,534 & 9 & \\
- 10 & 6\,983\,776\,800 & 2\,304 & $-33$ & $+19$ & 455\,052\,511 & 10 & \\
- 11 & 97\,772\,875\,200 & 4\,032 & $-23$ & $+3$ & 4\,118\,054\,813 & 10 & \\
- 12 & 963\,761\,198\,400 & 6\,720 & $-11$ & $+39$ & 37\,607\,912\,018 & 11 & \\
- 13 & 9\,316\,358\,251\,200 & 10\,752 & $-29$ & $+37$ & 346\,065\,536\,839 & 12 & \\
- 14 & 97\,821\,761\,637\,600 & 17\,280 & $-27$ & $+31$ & 3\,204\,941\,750\,802 & 12 & \\
- 15 & 866\,421\,317\,361\,600 & 26\,880 & $-11$ & $+37$ & 29\,844\,570\,422\,669 & 13 & \\
- 16 & 8\,086\,598\,962\,041\,600 & 41\,472 & $-63$ & $+61$ & 279\,238\,341\,033\,925 & 13 & \\
- 17 & 74\,801\,040\,398\,884\,800 & 64\,512 & $-3$ & $+3$ & 2\,623\,557\,157\,654\,233 & 14 & \\
- 18 & 897\,612\,484\,786\,617\,600 & 103\,680 & $-11$ & $+3$ & 24\,739\,954\,287\,740\,860 & 16 & \\
+ 1 & 6 & 4 & 2 & 4 \\
+ 2 & 60 & 12 & 3 & 25 \\
+ 3 & 840 & 32 & 4 & 168 \\
+ 4 & 7\,560 & 64 & 5 & 1\,229 \\
+ 5 & 83\,160 & 128 & 6 & 9\,592 \\
+ 6 & 720\,720 & 240 & 7 & 78\,498 \\
+ 7 & 8\,648\,640 & 448 & 8 & 664\,579 \\
+ 8 & 73\,513\,440 & 768 & 8 & 5\,761\,455 \\
+ 9 & 735\,134\,400 & 1\,344 & 9 & 50\,847\,534 \\
+ 10 & 6\,983\,776\,800 & 2\,304 & 10 & 455\,052\,511 \\
+ 11 & 97\,772\,875\,200 & 4\,032 & 10 & 4\,118\,054\,813 \\
+ 12 & 963\,761\,198\,400 & 6\,720 & 11 & 37\,607\,912\,018 \\
+ 13 & 9\,316\,358\,251\,200 & 10\,752 & 12 & 346\,065\,536\,839 \\
+ 14 & 97\,821\,761\,637\,600 & 17\,280 & 12 & 3\,204\,941\,750\,802 \\
+ 15 & 866\,421\,317\,361\,600 & 26\,880 & 13 & 29\,844\,570\,422\,669 \\
+ 16 & 8\,086\,598\,962\,041\,600 & 41\,472 & 13 & 279\,238\,341\,033\,925 \\
+ 17 & 74\,801\,040\,398\,884\,800 & 64\,512 & 14 & 2\,623\,557\,157\,654\,233 \\
+ 18 & 897\,612\,484\,786\,617\,600 & 103\,680 & 16 & 24\,739\,954\,287\,740\,860 \\
\hline
\end{tabularx}
+\end{expandtable}
diff --git a/content/math/tables/nim.tex b/content/math/tables/nim.tex
index 8490d42..66e289e 100644
--- a/content/math/tables/nim.tex
+++ b/content/math/tables/nim.tex
@@ -1,7 +1,6 @@
+\begin{expandtable}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.37\linewidth}|X|}
\hline
- \multicolumn{2}{|c|}{Nim-Spiele (\ding{182} letzter gewinnt (normal), \ding{183} letzter verliert)} \\
- \hline
Beschreibung &
Strategie \\
\hline
@@ -94,3 +93,5 @@
Periode ab $n = 72$ der Länge $12$.\\
\hline
\end{tabularx}
+\end{expandtable}
+ \ No newline at end of file
diff --git a/content/math/tables/numbers.tex b/content/math/tables/numbers.tex
deleted file mode 100644
index 1dc9f38..0000000
--- a/content/math/tables/numbers.tex
+++ /dev/null
@@ -1,59 +0,0 @@
-\begin{expandtable}
-\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}
- \hline
- \multicolumn{2}{|c|}{Berühmte Zahlen} \\
- \hline
- \textsc{Fibonacci} &
- $f(0) = 0 \quad
- f(1) = 1 \quad
- f(n+2) = f(n+1) + f(n)$ \\
- \grayhline
-
- \textsc{Catalan} &
- $C_0 = 1 \qquad
- C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} =
- \frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n} = \frac{2(2n - 1)}{n+1} \cdot C_{n-1}$ \\
- \grayhline
-
- \textsc{Euler} I &
- $\eulerI{n}{0} = \eulerI{n}{n-1} = 1 \qquad
- \eulerI{n}{k} = (k+1) \eulerI{n-1}{k} + (n-k) \eulerI{n-1}{k-1} $ \\
- \grayhline
-
- \textsc{Euler} II &
- $\eulerII{n}{0} = 1 \quad
- \eulerII{n}{n} = 0 \quad$\\
- & $\eulerII{n}{k} = (k+1) \eulerII{n-1}{k} + (2n-k-1) \eulerII{n-1}{k-1}$ \\
- \grayhline
-
- \textsc{Stirling} I &
- $\stirlingI{0}{0} = 1 \qquad
- \stirlingI{n}{0} = \stirlingI{0}{n} = 0 \qquad
- \stirlingI{n}{k} = \stirlingI{n-1}{k-1} + (n-1) \stirlingI{n-1}{k}$ \\
- \grayhline
-
- \textsc{Stirling} II &
- $\stirlingII{n}{1} = \stirlingII{n}{n} = 1 \qquad
- \stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1} =
- \frac{1}{k!} \sum\limits_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^n$\\
- \grayhline
-
- \textsc{Bell} &
- $B_1 = 1 \qquad
- B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} B_k\binom{n-1}{k}
- = \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k}$\\
- \grayhline
-
- \textsc{Partitions} &
- $p(0,0) = 1 \quad
- p(n,k) = 0 \text{ für } k > n \text{ oder } n \leq 0 \text{ oder } k \leq 0$ \\
- & $p(n,k) = p(n-k,k) + p(n-1,k-1)$\\
- \grayhline
-
- \textsc{Partitions} &
- $f(0) = 1 \quad f(n) = 0~(n < 0)$ \\
- & $f(n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}f(n - \frac{k(3k+1)}{2})+\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}f(n - \frac{k(3k-1)}{2})$\\
-
- \hline
-\end{tabularx}
-\end{expandtable}
diff --git a/content/math/tables/platonic.tex b/content/math/tables/platonic.tex
index f4ee554..2866ccf 100644
--- a/content/math/tables/platonic.tex
+++ b/content/math/tables/platonic.tex
@@ -1,39 +1,39 @@
+\begin{expandtable}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|CCCX|}
\hline
- \multicolumn{5}{|c|}{Platonische Körper} \\
- \hline
- Übersicht & Seiten & Ecken & Kanten & dual zu \\
+ Übersicht & |F| & |V| & |E| & dual zu \\
\hline
Tetraeder & 4 & 4 & 6 & Tetraeder \\
- Würfel/Hexaeder & 6 & 8 & 12 & Oktaeder \\
- Oktaeder & 8 & 6 & 12 & Würfel/Hexaeder\\
+ Würfel & 6 & 8 & 12 & Oktaeder \\
+ Oktaeder & 8 & 6 & 12 & Würfel\\
Dodekaeder & 12 & 20 & 30 & Ikosaeder \\
Ikosaeder & 20 & 12 & 30 & Dodekaeder \\
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{Färbungen mit maximal $n$ Farben (bis auf Isomorphie)} \\
\hline
- \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Oktaeder/Seiten vom Würfel} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|V| vom Oktaeder/|F| vom Würfel} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^6 + 3n^4 + 12n^3 + 8n^2)/24$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Würfel/Seiten vom Oktaeder} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|V| vom Würfel/|F| vom Oktaeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^8 + 17n^4 + 6n^2)/24$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Kanten vom Würfel/Oktaeder} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|E| vom Würfel/Oktaeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^{12} + 6n^7 + 3n^6 + 8n^4 + 6n^3)/24$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Ecken/Seiten vom Tetraeder} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|V|/|F| vom Tetraeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^4 + 11n^2)/12$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Kanten vom Tetraeder} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|E| vom Tetraeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^6 + 3n^4 + 8n^2)/12$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Ikosaeder/Seiten vom Dodekaeder} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|V| vom Ikosaeder/|F| vom Dodekaeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^{12} + 15n^6 + 44n^4)/60$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Dodekaeder/Seiten vom Ikosaeder} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|V| vom Dodekaeder/|F| vom Ikosaeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^{20} + 15n^{10} + 20n^8 + 24n^4)/60$} \\
- \multicolumn{3}{|l}{Kanten vom Dodekaeder/Ikosaeder (evtl. falsch)} &
+ \multicolumn{3}{|l}{|E| vom Dodekaeder/Ikosaeder} &
\multicolumn{2}{l|}{$(n^{30} + 15n^{16} + 20n^{10} + 24n^6)/60$} \\
\hline
\end{tabularx}
+\end{expandtable}
diff --git a/content/math/tables/probability.tex b/content/math/tables/probability.tex
index f265d10..29f92e1 100644
--- a/content/math/tables/probability.tex
+++ b/content/math/tables/probability.tex
@@ -1,19 +1,15 @@
-\begin{tabularx}{\linewidth}{|LICIR|}
+\begin{expandtable}
+\begin{tabularx}{\linewidth}{|LIR|}
\hline
- \multicolumn{3}{|c|}{
+ \multicolumn{2}{|c|}{
Wahrscheinlichkeitstheorie ($A,B$ Ereignisse und $X,Y$ Variablen)
} \\
\hline
- $\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y)$ &
- $\E(\alpha X) = \alpha \E(X)$ &
- $X, Y$ unabh. $\Leftrightarrow \E(XY) = \E(X) \cdot \E(Y)$\\
-
- $\Pr[A \vert B] = \frac{\Pr[A \land B]}{\Pr[B]}$ &
- $A, B$ disj. $\Leftrightarrow \Pr[A \land B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B]$ &
- $\Pr[A \lor B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \land B]$ \\
+ $\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y)$ & $\Pr[A \vert B] = \frac{\Pr[A \land B]}{\Pr[B]}$ \\
+ $\E(\alpha X) = \alpha \E(X)$ & $\Pr[A \lor B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \land B]$ \\
+ $X, Y$ unabh. $\Leftrightarrow \E(XY) = \E(X) \cdot \E(Y)$ & $A, B$ disj. $\Leftrightarrow \Pr[A \land B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B]$\\
\hline
\end{tabularx}
-\vfill
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Xlr|lrX|}
\hline
\multicolumn{6}{|c|}{\textsc{Bertrand}'s Ballot Theorem (Kandidaten $A$ und $B$, $k \in \mathbb{N}$)} \\
@@ -25,3 +21,4 @@
$\#A \geq \#B + k$ & $Num = \frac{a - k + 1 - b}{a - k + 1} \binom{a + b - k}{b}$ & \\
\hline
\end{tabularx}
+\end{expandtable}
diff --git a/content/math/tables/series.tex b/content/math/tables/series.tex
index 3042781..9618c2b 100644
--- a/content/math/tables/series.tex
+++ b/content/math/tables/series.tex
@@ -1,33 +1,33 @@
-\begin{tabularx}{\linewidth}{|XIXIXIX|}
- \hline
- \multicolumn{4}{|c|}{Reihen} \\
+\begin{expandtable}
+\begin{tabularx}{\linewidth}{|XIXIX|}
\hline
$\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ &
$\sum\limits_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ &
- $\sum\limits_{i = 1}^n i^3 = \frac{n^2 (n + 1)^2}{4}$ &
- $H_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{i}$ \\
+ $\sum\limits_{i = 1}^n i^3 = \frac{n^2 (n + 1)^2}{4}$ \\
\grayhline
- $\sum\limits_{i = 0}^n c^i = \frac{c^{n + 1} - 1}{c - 1} \quad c \neq 1$ &
- $\sum\limits_{i = 0}^\infty c^i = \frac{1}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ &
- $\sum\limits_{i = 1}^\infty c^i = \frac{c}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ &
- $\sum\limits_{i = 0}^\infty ic^i = \frac{c}{(1 - c)^2} \quad \vert c \vert < 1$ \\
+ $\sum\limits_{i = 0}^n c^i = \frac{c^{n + 1} - 1}{c - 1} \hfill c \neq 1$ &
+ $\sum\limits_{i = 0}^\infty c^i = \frac{1}{1 - c} \hfill \vert c \vert < 1$ &
+ $\sum\limits_{i = 1}^\infty c^i = \frac{c}{1 - c} \hfill \vert c \vert < 1$ \\
\grayhline
-
+
\multicolumn{2}{|lI}{
$\sum\limits_{i = 0}^n ic^i = \frac{nc^{n + 2} - (n + 1)c^{n + 1} + c}{(c - 1)^2} \quad c \neq 1$
} &
- \multicolumn{2}{l|}{
+ $\sum\limits_{i = 0}^\infty ic^i = \frac{c}{(1 - c)^2} \hfill \vert c \vert < 1$ \\
+ \grayhline
+
+ \multicolumn{2}{|lI}{
$\sum\limits_{i = 1}^n iH_i = \frac{n(n + 1)}{2}H_n - \frac{n(n - 1)}{4}$
- } \\
+ } &
+ $H_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{i}$ \\
\grayhline
\multicolumn{2}{|lI}{
- $\sum\limits_{i = 1}^n H_i = (n + 1)H_n - n$
- } &
- \multicolumn{2}{l|}{
$\sum\limits_{i = 1}^n \binom{i}{m}H_i =
\binom{n + 1}{m + 1} \left(H_{n + 1} - \frac{1}{m + 1}\right)$
- } \\
+ } &
+ $\sum\limits_{i = 1}^n H_i = (n + 1)H_n - n$ \\
\hline
\end{tabularx}
+\end{expandtable}
diff --git a/content/math/tables/stuff.tex b/content/math/tables/stuff.tex
index 3cf8b4c..82f2d3f 100644
--- a/content/math/tables/stuff.tex
+++ b/content/math/tables/stuff.tex
@@ -1,6 +1,7 @@
-\begin{tabularx}{\linewidth}{|ll|}
+\begin{expandtable}
+\begin{tabularx}{\linewidth}{|Ll|}
\hline
- \multicolumn{2}{|C|}{Verschiedenes} \\
+ \multicolumn{2}{|c|}{Verschiedenes} \\
\hline
Türme von Hanoi, minimale Schirttzahl: &
$T_n = 2^n - 1$ \\
@@ -20,7 +21,7 @@
\#Wälder mit $k$ gewurzelten Bäumen &
$\frac{k}{n}\binom{n}{k}n^{n-k}$ \\
- \#Wälder mit $k$ gewurzelten Bäumen mit vorgegebenen Wurzelknoten&
+ \#Wälder mit $k$ gewurzelten~Bäumen mit vorgegebenen Wurzelknoten&
$\frac{k}{n}n^{n-k}$ \\
Derangements &
@@ -29,4 +30,4 @@
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e}$ \\
\hline
\end{tabularx}
-
+\end{expandtable}
diff --git a/content/tcr.tex b/content/tcr.tex
index b3cfb17..6d849d5 100644
--- a/content/tcr.tex
+++ b/content/tcr.tex
@@ -48,10 +48,7 @@
\input{graph/graph}
\input{geometry/geometry}
\input{math/math}
-\end{multicols*}
\clearpage
- \input{math/tables}
-\begin{multicols*}{3}
\input{string/string}
\input{python/python}
\input{other/other}
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