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diff --git a/content/math/tables/binom.tex b/content/math/tables/binom.tex new file mode 100644 index 0000000..878a6b0 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/binom.tex @@ -0,0 +1,28 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|XXXX|} + \hline + \multicolumn{4}{|c|}{Binomialkoeffizienten} \\ + \hline + \multicolumn{4}{|c|}{ + $\frac{n!}{k!(n - k)!} \hfill=\hfill + \binom{n}{k} \hfill=\hfill + \binom{n}{n - k} \hfill=\hfill + \frac{n}{k}\binom{n - 1}{k - 1} \hfill=\hfill + \frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k - 1} \hfill=\hfill + \binom{n - 1}{k} + \binom{n - 1}{k - 1} \hfill=\hfill + (-1)^k \binom{k - n - 1}{k} \hfill\approx\hfill + 2^{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{2\pi n}}\cdot\exp\left(-\frac{2(x - \frac{n}{2})^2}{n}\right)$ + } \\ + \grayhline + + $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ & + $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{k}{m} = \binom{n + 1}{m + 1}$ & + $\sum\limits_{i = 0}^n \binom{n}{i}^2 = \binom{2n}{n}$ & + $\sum\limits_{k = 0}^n\binom{r + k}{k} = \binom{r + n + 1}{n}$\\ + + $\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n - k}{m - k}$ & + $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{r}{k}\binom{s}{n - k} = \binom{r + s}{n}$ & + \multicolumn{2}{l|}{ + $\sum\limits_{i = 1}^n \binom{n}{i} F_i = F_{2n} \quad F_n = n\text{-th Fib.}$ + }\\ + \hline +\end{tabularx} diff --git a/content/math/tables/nim.tex b/content/math/tables/nim.tex new file mode 100644 index 0000000..8490d42 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/nim.tex @@ -0,0 +1,96 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.37\linewidth}|X|} + \hline + \multicolumn{2}{|c|}{Nim-Spiele (\ding{182} letzter gewinnt (normal), \ding{183} letzter verliert)} \\ + \hline + Beschreibung & + Strategie \\ + \hline + + $M = [\mathit{pile}_i]$\newline + $[x] := \{1, \ldots, x\}$& + $\mathit{SG} = \oplus_{i = 1}^n \mathit{pile}_i$\newline + \ding{182} Nimm von einem Stapel, sodass $\mathit{SG}$ $0$ wird.\newline + \ding{183} Genauso. + Außer: Bleiben nur noch Stapel der Größe $1$, erzeuge ungerade Anzahl solcher Stapel.\\ + \hline + + $M = \{a^m \mid m \geq 0\}$ & + $a$ ungerade: $\mathit{SG}_n = n \% 2$\newline + $a$ gerade:\newline + $\mathit{SG}_n = 2$, falls $n \equiv a \bmod (a + 1) $\newline + $\mathit{SG}_n = n \% (a + 1) \% 2$, sonst.\\ + \hline + + $M_{\text{\ding{172}}} = \left[\frac{\mathit{pile}_i}{2}\right]$\newline + $M_{\text{\ding{173}}} = + \left\{\left\lceil\frac{\mathit{pile}_i}{2}\right\rceil,~ + \mathit{pile}_i\right\}$ & + \ding{172} + $\mathit{SG}_{2n} = n$, + $\mathit{SG}_{2n+1} = \mathit{SG}_n$\newline + \ding{173} + $\mathit{SG}_0 = 0$, + $\mathit{SG}_n = [\log_2 n] + 1$ \\ + \hline + + $M_{\text{\ding{172}}} = \text{Teiler von $\mathit{pile}_i$}$\newline + $M_{\text{\ding{173}}} = \text{echte Teiler von $\mathit{pile}_i$}$ & + \ding{172} + $\mathit{SG}_0 = 0$, + $\mathit{SG}_n = \mathit{SG}_{\text{\ding{173},n}} + 1$\newline + \ding{173} + $\mathit{ST}_1 = 0$, + $\mathit{SG}_n = \text{\#Nullen am Ende von $n_{bin}$}$\\ + \hline + + $M_{\text{\ding{172}}} = [k]$\newline + $M_{\text{\ding{173}}} = S$, ($S$ endlich)\newline + $M_{\text{\ding{174}}} = S \cup \{\mathit{pile}_i\}$ & + $\mathit{SG}_{\text{\ding{172}}, n} = n \bmod (k + 1)$\newline + \ding{182} Niederlage bei $\mathit{SG} = 0$\newline + \ding{183} Niederlage bei $\mathit{SG} = 1$\newline + $\mathit{SG}_{\text{\ding{174}}, n} = \mathit{SG}_{\text{\ding{173}}, n} + 1$\\ + \hline + + \multicolumn{2}{|l|}{ + Für jedes endliche $M$ ist $\mathit{SG}$ eines Stapels irgendwann periodisch. + } \\ + \hline + + \textsc{Moore}'s Nim:\newline + Beliebige Zahl von maximal $k$ Stapeln. & + \ding{182} + Schreibe $\mathit{pile}_i$ binär. + Addiere ohne Übertrag zur Basis $k + 1$. + Niederlage, falls Ergebnis gleich 0.\newline + \ding{183} + Wenn alle Stapel $1$ sind: + Niederlage, wenn $n \equiv 1 \bmod (k + 1)$. + Sonst wie in \ding{182}.\\ + \hline + + Staircase Nim:\newline + $n$ Stapel in einer Reihe. + Beliebige Zahl von Stapel $i$ nach Stapel $i-1$. & + Niederlage, wenn Nim der ungeraden Spiele verloren ist:\newline + $\oplus_{i = 0}^{(n - 1) / 2} \mathit{pile}_{2i + 1} = 0$\\ + \hline + + \textsc{Lasker}'s Nim:\newline + Zwei mögliche Züge:\newline + 1) Nehme beliebige Zahl.\newline + 2) Teile Stapel in zwei Stapel (ohne Entnahme).& + $\mathit{SG}_n = n$, falls $n \equiv 1,2 \bmod 4$\newline + $\mathit{SG}_n = n + 1$, falls $n \equiv 3 \bmod 4$\newline + $\mathit{SG}_n = n - 1$, falls $n \equiv 0 \bmod 4$\\ + \hline + + \textsc{Kayles}' Nim:\newline + Zwei mögliche Züge:\newline + 1) Nehme beliebige Zahl.\newline + 2) Teile Stapel in zwei Stapel (mit Entnahme).& + Berechne $\mathit{SG}_n$ für kleine $n$ rekursiv.\newline + $n \in [72,83]: \quad 4, 1, 2, 8, 1, 4, 7, 2, 1, 8, 2, 7$\newline + Periode ab $n = 72$ der Länge $12$.\\ + \hline +\end{tabularx} diff --git a/content/math/tables/numbers.tex b/content/math/tables/numbers.tex new file mode 100644 index 0000000..1dc9f38 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/numbers.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +\begin{expandtable} +\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|} + \hline + \multicolumn{2}{|c|}{Berühmte Zahlen} \\ + \hline + \textsc{Fibonacci} & + $f(0) = 0 \quad + f(1) = 1 \quad + f(n+2) = f(n+1) + f(n)$ \\ + \grayhline + + \textsc{Catalan} & + $C_0 = 1 \qquad + C_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} C_kC_{n - 1 - k} = + \frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n} = \frac{2(2n - 1)}{n+1} \cdot C_{n-1}$ \\ + \grayhline + + \textsc{Euler} I & + $\eulerI{n}{0} = \eulerI{n}{n-1} = 1 \qquad + \eulerI{n}{k} = (k+1) \eulerI{n-1}{k} + (n-k) \eulerI{n-1}{k-1} $ \\ + \grayhline + + \textsc{Euler} II & + $\eulerII{n}{0} = 1 \quad + \eulerII{n}{n} = 0 \quad$\\ + & $\eulerII{n}{k} = (k+1) \eulerII{n-1}{k} + (2n-k-1) \eulerII{n-1}{k-1}$ \\ + \grayhline + + \textsc{Stirling} I & + $\stirlingI{0}{0} = 1 \qquad + \stirlingI{n}{0} = \stirlingI{0}{n} = 0 \qquad + \stirlingI{n}{k} = \stirlingI{n-1}{k-1} + (n-1) \stirlingI{n-1}{k}$ \\ + \grayhline + + \textsc{Stirling} II & + $\stirlingII{n}{1} = \stirlingII{n}{n} = 1 \qquad + \stirlingII{n}{k} = k \stirlingII{n-1}{k} + \stirlingII{n-1}{k-1} = + \frac{1}{k!} \sum\limits_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^n$\\ + \grayhline + + \textsc{Bell} & + $B_1 = 1 \qquad + B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} B_k\binom{n-1}{k} + = \sum\limits_{k = 0}^{n}\stirlingII{n}{k}$\\ + \grayhline + + \textsc{Partitions} & + $p(0,0) = 1 \quad + p(n,k) = 0 \text{ für } k > n \text{ oder } n \leq 0 \text{ oder } k \leq 0$ \\ + & $p(n,k) = p(n-k,k) + p(n-1,k-1)$\\ + \grayhline + + \textsc{Partitions} & + $f(0) = 1 \quad f(n) = 0~(n < 0)$ \\ + & $f(n)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}f(n - \frac{k(3k+1)}{2})+\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}f(n - \frac{k(3k-1)}{2})$\\ + + \hline +\end{tabularx} +\end{expandtable} diff --git a/content/math/tables/platonic.tex b/content/math/tables/platonic.tex new file mode 100644 index 0000000..f4ee554 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/platonic.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|CCCX|} + \hline + \multicolumn{5}{|c|}{Platonische Körper} \\ + \hline + Übersicht & Seiten & Ecken & Kanten & dual zu \\ + \hline + Tetraeder & 4 & 4 & 6 & Tetraeder \\ + Würfel/Hexaeder & 6 & 8 & 12 & Oktaeder \\ + Oktaeder & 8 & 6 & 12 & Würfel/Hexaeder\\ + Dodekaeder & 12 & 20 & 30 & Ikosaeder \\ + Ikosaeder & 20 & 12 & 30 & Dodekaeder \\ + \hline + \multicolumn{5}{|c|}{Färbungen mit maximal $n$ Farben (bis auf Isomorphie)} \\ + \hline + \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Oktaeder/Seiten vom Würfel} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^6 + 3n^4 + 12n^3 + 8n^2)/24$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Würfel/Seiten vom Oktaeder} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^8 + 17n^4 + 6n^2)/24$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Kanten vom Würfel/Oktaeder} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^{12} + 6n^7 + 3n^6 + 8n^4 + 6n^3)/24$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Ecken/Seiten vom Tetraeder} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^4 + 11n^2)/12$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Kanten vom Tetraeder} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^6 + 3n^4 + 8n^2)/12$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Ikosaeder/Seiten vom Dodekaeder} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^{12} + 15n^6 + 44n^4)/60$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Ecken vom Dodekaeder/Seiten vom Ikosaeder} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^{20} + 15n^{10} + 20n^8 + 24n^4)/60$} \\ + + \multicolumn{3}{|l}{Kanten vom Dodekaeder/Ikosaeder (evtl. falsch)} & + \multicolumn{2}{l|}{$(n^{30} + 15n^{16} + 20n^{10} + 24n^6)/60$} \\ + \hline +\end{tabularx} diff --git a/content/math/tables/prime-composite.tex b/content/math/tables/prime-composite.tex new file mode 100644 index 0000000..99b3348 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/prime-composite.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|r|r|rIr|rIrIr|C|} + \hline + \multicolumn{8}{|c|}{Important Numbers} \\ + \hline + $10^x$ & Highly Composite & \# Divs & $<$ Prime & $>$ Prime & \# Primes & primorial & \\ + \hline + 1 & 6 & 4 & $-3$ & $+1$ & 4 & 2 & \\ + 2 & 60 & 12 & $-3$ & $+1$ & 25 & 3 & \\ + 3 & 840 & 32 & $-3$ & $+9$ & 168 & 4 & \\ + 4 & 7\,560 & 64 & $-27$ & $+7$ & 1\,229 & 5 & \\ + 5 & 83\,160 & 128 & $-9$ & $+3$ & 9\,592 & 6 & \\ + 6 & 720\,720 & 240 & $-17$ & $+3$ & 78\,498 & 7 & \\ + 7 & 8\,648\,640 & 448 & $-9$ & $+19$ & 664\,579 & 8 & \\ + 8 & 73\,513\,440 & 768 & $-11$ & $+7$ & 5\,761\,455 & 8 & \\ + 9 & 735\,134\,400 & 1\,344 & $-63$ & $+7$ & 50\,847\,534 & 9 & \\ + 10 & 6\,983\,776\,800 & 2\,304 & $-33$ & $+19$ & 455\,052\,511 & 10 & \\ + 11 & 97\,772\,875\,200 & 4\,032 & $-23$ & $+3$ & 4\,118\,054\,813 & 10 & \\ + 12 & 963\,761\,198\,400 & 6\,720 & $-11$ & $+39$ & 37\,607\,912\,018 & 11 & \\ + 13 & 9\,316\,358\,251\,200 & 10\,752 & $-29$ & $+37$ & 346\,065\,536\,839 & 12 & \\ + 14 & 97\,821\,761\,637\,600 & 17\,280 & $-27$ & $+31$ & 3\,204\,941\,750\,802 & 12 & \\ + 15 & 866\,421\,317\,361\,600 & 26\,880 & $-11$ & $+37$ & 29\,844\,570\,422\,669 & 13 & \\ + 16 & 8\,086\,598\,962\,041\,600 & 41\,472 & $-63$ & $+61$ & 279\,238\,341\,033\,925 & 13 & \\ + 17 & 74\,801\,040\,398\,884\,800 & 64\,512 & $-3$ & $+3$ & 2\,623\,557\,157\,654\,233 & 14 & \\ + 18 & 897\,612\,484\,786\,617\,600 & 103\,680 & $-11$ & $+3$ & 24\,739\,954\,287\,740\,860 & 16 & \\ + \hline +\end{tabularx} diff --git a/content/math/tables/probability.tex b/content/math/tables/probability.tex new file mode 100644 index 0000000..f265d10 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/probability.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|LICIR|} + \hline + \multicolumn{3}{|c|}{ + Wahrscheinlichkeitstheorie ($A,B$ Ereignisse und $X,Y$ Variablen) + } \\ + \hline + $\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y)$ & + $\E(\alpha X) = \alpha \E(X)$ & + $X, Y$ unabh. $\Leftrightarrow \E(XY) = \E(X) \cdot \E(Y)$\\ + + $\Pr[A \vert B] = \frac{\Pr[A \land B]}{\Pr[B]}$ & + $A, B$ disj. $\Leftrightarrow \Pr[A \land B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B]$ & + $\Pr[A \lor B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \land B]$ \\ + \hline +\end{tabularx} +\vfill +\begin{tabularx}{\linewidth}{|Xlr|lrX|} + \hline + \multicolumn{6}{|c|}{\textsc{Bertrand}'s Ballot Theorem (Kandidaten $A$ und $B$, $k \in \mathbb{N}$)} \\ + \hline + & $\#A > k\#B$ & $Pr = \frac{a - kb}{a + b}$ & + $\#B - \#A \leq k$ & $Pr = 1 - \frac{a!b!}{(a + k + 1)!(b - k - 1)!}$ & \\ + + & $\#A \geq k\#B$ & $Pr = \frac{a + 1 - kb}{a + 1}$ & + $\#A \geq \#B + k$ & $Num = \frac{a - k + 1 - b}{a - k + 1} \binom{a + b - k}{b}$ & \\ + \hline +\end{tabularx} diff --git a/content/math/tables/series.tex b/content/math/tables/series.tex new file mode 100644 index 0000000..3042781 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/series.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|XIXIXIX|} + \hline + \multicolumn{4}{|c|}{Reihen} \\ + \hline + $\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ & + $\sum\limits_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ & + $\sum\limits_{i = 1}^n i^3 = \frac{n^2 (n + 1)^2}{4}$ & + $H_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{i}$ \\ + \grayhline + + $\sum\limits_{i = 0}^n c^i = \frac{c^{n + 1} - 1}{c - 1} \quad c \neq 1$ & + $\sum\limits_{i = 0}^\infty c^i = \frac{1}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ & + $\sum\limits_{i = 1}^\infty c^i = \frac{c}{1 - c} \quad \vert c \vert < 1$ & + $\sum\limits_{i = 0}^\infty ic^i = \frac{c}{(1 - c)^2} \quad \vert c \vert < 1$ \\ + \grayhline + + \multicolumn{2}{|lI}{ + $\sum\limits_{i = 0}^n ic^i = \frac{nc^{n + 2} - (n + 1)c^{n + 1} + c}{(c - 1)^2} \quad c \neq 1$ + } & + \multicolumn{2}{l|}{ + $\sum\limits_{i = 1}^n iH_i = \frac{n(n + 1)}{2}H_n - \frac{n(n - 1)}{4}$ + } \\ + \grayhline + + \multicolumn{2}{|lI}{ + $\sum\limits_{i = 1}^n H_i = (n + 1)H_n - n$ + } & + \multicolumn{2}{l|}{ + $\sum\limits_{i = 1}^n \binom{i}{m}H_i = + \binom{n + 1}{m + 1} \left(H_{n + 1} - \frac{1}{m + 1}\right)$ + } \\ + \hline +\end{tabularx} diff --git a/content/math/tables/stuff.tex b/content/math/tables/stuff.tex new file mode 100644 index 0000000..3cf8b4c --- /dev/null +++ b/content/math/tables/stuff.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +\begin{tabularx}{\linewidth}{|ll|} + \hline + \multicolumn{2}{|C|}{Verschiedenes} \\ + \hline + Türme von Hanoi, minimale Schirttzahl: & + $T_n = 2^n - 1$ \\ + + \#Regionen zwischen $n$ Geraden & + $\frac{n\left(n + 1\right)}{2} + 1$ \\ + + \#abgeschlossene Regionen zwischen $n$ Geraden & + $\frac{n^2 - 3n + 2}{2}$ \\ + + \#markierte, gewurzelte Bäume & + $n^{n-1}$ \\ + + \#markierte, nicht gewurzelte Bäume & + $n^{n-2}$ \\ + + \#Wälder mit $k$ gewurzelten Bäumen & + $\frac{k}{n}\binom{n}{k}n^{n-k}$ \\ + + \#Wälder mit $k$ gewurzelten Bäumen mit vorgegebenen Wurzelknoten& + $\frac{k}{n}n^{n-k}$ \\ + + Derangements & + $!n = (n - 1)(!(n - 1) + !(n - 2)) = \left\lfloor\frac{n!}{e} + \frac{1}{2}\right\rfloor$ \\ + & + $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e}$ \\ + \hline +\end{tabularx} + diff --git a/content/math/tables/twelvefold.tex b/content/math/tables/twelvefold.tex new file mode 100644 index 0000000..18d3955 --- /dev/null +++ b/content/math/tables/twelvefold.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +\begin{expandtable} +\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|CICICIC|} + \hline + Bälle & identisch & verschieden & identisch & verschieden \\ + Boxen & identisch & identisch & verschieden & verschieden \\ + \hline + -- & + $p_k(n + k)$ & + $\sum\limits_{i = 0}^k \stirlingII{n}{i}$ & + $\binom{n + k - 1}{k - 1}$ & + $k^n$ \\ + \grayhline + + \makecell{Bälle pro\\Box $\geq 1$} & + $p_k(n)$ & + $\stirlingII{n}{k}$ & + $\binom{n - 1}{k - 1}$ & + $k! \stirlingII{n}{k}$ \\ + \grayhline + + \makecell{Bälle pro\\Box $\leq 1$} & + $[n \leq k]$ & + $[n \leq k]$ & + $\binom{k}{n}$ & + $n! \binom{k}{n}$ \\ + \hline + \multicolumn{5}{|l|}{ + $[\text{Bedingung}]$: \code{return Bedingung ? 1 : 0;} + } \\ + \hline +\end{tabularx} +\end{expandtable} |