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diff --git a/content/math/math.tex b/content/math/math.tex index 4ac6c9e..644fbc8 100644 --- a/content/math/math.tex +++ b/content/math/math.tex @@ -26,7 +26,7 @@ \end{methods}
\sourcecode{math/permIndex.cpp}
\end{algorithm}
-\clearpage
+\columnbreak
\subsection{Mod-Exponent und Multiplikation über $\boldsymbol{\mathbb{F}_p}$}
%\vspace{-1.25em}
@@ -100,8 +100,8 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: wenn $a\equiv~b \bmod \ggT(m, n)$.
In diesem Fall sind keine Faktoren
auf der linken Seite erlaubt.
- \end{itemize}
- \sourcecode{math/chineseRemainder.cpp}
+ \end{itemize}
+ \sourcecode{math/chineseRemainder.cpp}
\end{algorithm}
\begin{algorithm}{Primzahltest \& Faktorisierung}
@@ -236,7 +236,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \sourcecode{math/legendre.cpp}
\end{algorithm}
-\begin{algorithm}{Lineares Sieb und Multiplikative Funktionen}
+\begin{algorithm}{Lineares Sieb und multiplikative Funktionen}
Eine (zahlentheoretische) Funktion $f$ heißt multiplikativ wenn $f(1)=1$ und $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$, falls $\ggT(a,b)=1$.
$\Rightarrow$ Es ist ausreichend $f(p^k)$ für alle primen $p$ und alle $k$ zu kennen.
@@ -250,7 +250,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \textbf{Wichtig:} Sieb rechts ist schneller für \code{isPrime} oder \code{primes}!
\sourcecode{math/linearSieve.cpp}
- \textbf{\textsc{Möbius}-Funktion:}
+ \textbf{\textsc{Möbius} Funktion:}
\begin{itemize}
\item $\mu(n)=+1$, falls $n$ quadratfrei ist und gerade viele Primteiler hat
\item $\mu(n)=-1$, falls $n$ quadratfrei ist und ungerade viele Primteiler hat
@@ -263,7 +263,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \item $p$ prim, $k \in \mathbb{N}$:
$~\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$
- \item \textbf{Euler's Theorem:}
+ \item \textbf{\textsc{Euler}'s Theorem:}
Für $b \geq \varphi(c)$ gilt: $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \pmod{c}$. Darüber hinaus gilt: $\gcd(a, c) = 1 \Leftrightarrow a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(c)} \pmod{c}$.
Falls $m$ prim ist, liefert das den \textbf{kleinen Satz von \textsc{Fermat}}:
$a^{m} \equiv a \pmod{m}$
@@ -345,7 +345,7 @@ sich alle Lösungen von $x^2-ny^2=c$ berechnen durch: \subsection{Kombinatorik}
-\paragraph{Wilsons Theorem}
+\paragraph{\textsc{Wilson}'s Theorem}
A number $n$ is prime if and only if
$(n-1)!\equiv -1\bmod{n}$.\\
($n$ is prime if and only if $(m-1)!\cdot(n-m)!\equiv(-1)^m\bmod{n}$ for all $m$ in $\{1,\dots,n\}$)
@@ -357,14 +357,14 @@ $(n-1)!\equiv -1\bmod{n}$.\\ \end{cases}
\end{align*}
-\paragraph{\textsc{Zeckendorfs} Theorem}
+\paragraph{\textsc{Zeckendorf}'s Theorem}
Jede positive natürliche Zahl kann eindeutig als Summe einer oder mehrerer
verschiedener \textsc{Fibonacci}-Zahlen geschrieben werden, sodass keine zwei
aufeinanderfolgenden \textsc{Fibonacci}-Zahlen in der Summe vorkommen.\\
\emph{Lösung:} Greedy, nimm immer die größte \textsc{Fibonacci}-Zahl, die noch
hineinpasst.
-\paragraph{\textsc{Lucas}-Theorem}
+\paragraph{\textsc{Lucas}'s Theorem}
Ist $p$ prim, $m=\sum_{i=0}^km_ip^i$, $n=\sum_{i=0}^kn_ip^i$ ($p$-adische Darstellung),
so gilt
\vspace{-0.75\baselineskip}
@@ -542,7 +542,7 @@ Wenn man $k$ Spiele in den Zuständen $X_1, \ldots, X_k$ hat, dann ist die \text \input{math/tables/series}
\subsection{Wichtige Zahlen}
-\input{math/tables/composite}
+\input{math/tables/prime-composite}
\subsection{Recover $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$ from $\boldsymbol{y}$ from $\boldsymbol{x\*y^{-1}}$ }
\method{recover}{findet $x$ und $y$ für $x=x\*y^{-1}\bmod m$}{\log(m)}
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